Rätsel der Woche Die abgestumpfte Pyramide

Von einer dreieckigen Pyramide werden vier Ecken abgeschnitten. Übrig bleibt ein Körper mit sechs Ecken. Wie groß ist sein Volumen im Vergleich zu dem der Pyramide?
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Wenn Sie auf größtmögliche Symmetrie stehen, sind Sie sicher ein großer Freund platonischer Körper. Die Bezeichnung geht auf den griechischen Philosophen Platon zurück. Ein platonischer Körper hat als Seitenflächen identisch große, regelmäßige Vielecke. Und an jeder Ecke stoßen gleich viele Kanten zusammen. Beispiele sind der Würfel oder der Dodekaeder, der aus zwölf zusammengesetzten Fünfecken besteht.

In diesem Rätsel geht es um den einfachsten platonischen Körper - das Tetraeder. Das ist eine dreieckige Pyramide, deren vier Seitenflächen sämtlich gleichseitige Dreiecke sind.

Von einem solchen Tetraeder wird an jeder seiner vier Ecken ein kleinerer Tetraeder abgeschnitten. Die Kantenlänger dieser vier kleinen Tetraeder ist genau halb so lang wie beim ursprünglichen Tetraeder.

Die folgende interaktive Animation zeigt den entstandenen Körper - benutzen Sie Maus oder Finger zum Drehen oder Zoomen!

Durch das Abschneiden entsteht übrigens ein anderer platonischer Körper - ein Achtflächner, auch Oktaeder genannt. In der Animation ist der Körper rot gefärbt. Seine Oberfläche besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken.

Welchen Anteil hat das Volumen dieses Oktaeders am Volumen des ursprünglichen Tetraeders?

Hinweis: Versuchen Sie, die Aufgabe ganz ohne komplizierte Formeln zu lösen!

Hier geht es zur Lösung

Der Volumenanteil liegt bei 1/2!

Von dem Ausgangs-Tetraeder wurden vier kleine Tetraeder abgeschnitten. Wenn wir wissen, wie sich das Volumen eines kleinen Tetraeders im Vergleich zum Volumen des Ausgangs-Tetraeders mit doppelter Kantenlänge verhält, haben wir die Aufgabe so gut wie gelöst. Wie groß aber ist dieses Verhältnis?

Der große Tetraeder ist ähnlich zu den vier kleinen. Denn seine Kanten sind genau doppelt so lang - und alle Winkel stimmen überein. Das Volumen eines dreidimensionalen Objekts verachtfacht sich, wenn man seine Kanten verdoppelt und alle Winkelgrößen beibehält. Der Faktor 8 ergibt sich, wenn man den Faktor 2 in die dritte Potenz nimmt (2*2*2 = 2 = 8), denn wir berechnen ja eine Größe im dreidimensionalen Raum.

Eine plausible Erklärung für den Faktor 8 liefert folgende Überlegung: Das Volumen eines Körper können wir mit der Formel V = c*Höhe*Breite*Tiefe berechnen, wobei c eine Konstante ist und von der genauen Form des Körpers abhängt. Wenn wir die Ausmaße des Körpers in allen drei Dimensionen verdoppeln, ergibt sich ein Volumen von c*2*Höhe*2*Breite*2*Tiefe = 8*c*Höhe*Breite*Tiefe = 8*V.

Die vier kleinen Tetraeder haben daher zusammen ein Volumen, das halb so groß ist wie das des ursprünglichen Tetraeders. Deshalb ist auch der durch das Abschneiden der Ecken entstehende Körper vom Volumen halb so groß.

Entdeckt habe ich diese Aufgabe beim Mathewettbewerb Känguru .

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