Rätsel der Woche Die eng umschlungene Erde

Entlang des Äquators ist ein 40.000 Kilometer langes Band um die Erde gelegt. Was geschieht mit diesem Band, wenn es um einen Meter verlängert wird?
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Mathematische Intuition ist ein faszinierendes Phänomen. Wir ahnen die richtige Lösung eines Problems, ohne es genau durchdacht zu haben. Dabei hilft uns unter anderem Erfahrung - manchmal ist es aber auch einfach nur ein Gefühl.

Wie ist es um Ihre mathematische Intuition bestellt? Die heutige Aufgabe ist ein guter Test dafür. Versuchen Sie die Frage bitte zuerst aus dem Bauch heraus zu beantworten. Und erst danach eine genaue Analyse vorzunehmen. Kommen Sie in beiden Fällen auf dasselbe Ergebnis? Hier die Aufgabe:

Um unseren Planeten ist entlang des Äquators ein Stoffband geschlungen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Erdoberfläche exakt kugelförmig ist. Es gibt also weder Berge noch Täler und auch der Meeresspiegel hat die gleiche Höhe wie das Land. Das Band ist exakt genauso lang wie der Äquator - und zwar 40.000 Kilometer. Es ist exakt kreisförmig und liegt ohne Falten - sowohl an Land als auch auf dem Wasser.

Im Norden Brasiliens schneidet jemand das Band durch, fügt ein ein Meter langes Zusatzstück ein und näht das Band wieder zusammen. Es ist damit einen Meter länger.

Nun wird das verlängerte Band gleichmäßig um die Erde gespannt, so dass es wieder einen Kreis bildet, dessen Mittelpunkt mit dem Erdmittelpunkt zusammenfällt.

Wie groß ist dann der Abstand des Bandes von der Erdoberfläche?

a) weniger als 10 Zentimeter
b) 10 bis 20 Zentimeter
c) mehr als 20 Zentimeter

Hier geht es zur Lösung

Die richtige Lösung ist b) - also 10 bis 20 Zentimeter. Ohne das Problem zu berechnen, hätte ich auf weniger als 10 Zentimeter getippt. Meine Idee dabei war, dass man einen Meter quasi über 40.000 Kilometer verteilt und sich dabei nur sehr wenig verändern dürfte.

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Doch das stimmt so nicht. Der Umfang eines Kreises wird mit der Formel U = 2*Pi*r berechnet. Das heißt: Wenn man den Umfang um einen bestimmten Betrag erhöht, wird der Radius um etwa ein Sechstel dieses Betrags größer.

In unserem Fall heißt das: Der Umfang erhöht sich um einen Meter und der Radius deshalb um einen Meter geteilt durch 2*Pi. Das Ergebnis lautet 15,9 Zentimeter.

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