Rätsel der Woche Die fantastischen Vieren

Sie nehmen eine natürliche Zahl und bilden ihr Quadrat. Können die letzten Ziffern dieser Quadratzahl sämtlich Vieren sein? Hier geht es zur Lösung.
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Quadratzahlen haben Menschen seit jeher fasziniert. Schon die alten Babylonier notierten sogenannte pythagoreische Zahlentripel auf Tontafeln . Diese natürlichen Zahlen a, b, c erfüllen die Gleichung a2 + b2 = c2. Sie sind zugleich Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Beispiele sind 32 + 42 = 52 und 202 + 212 = 292. Auch mit mehr als drei Quadratzahlen sind verblüffende Kombinationen möglich - etwa 102 + 112 + 122 = 132 + 142.

In der heutigen Aufgabe geht es jedoch nicht um Summen aus Quadratzahlen, sondern um ihre Ziffern:

Gegeben ist eine beliebige natürliche Zahl. Sie bilden das Quadrat dieser Zahl. Kann die letzte Ziffer oder können die letzten Ziffern dieser Zahl gleich 4 sein?

Offensichtlich gibt es Lösungen, wenn nur die letzte Ziffer eine 4 sein soll: Eine lautet 2, denn 2*2=4. Und auch zwei Vieren am Ende sind möglich - zum Beispiel 12*12 = 144.

Nun zur eigentlichen Frage: Wie oft kann die Ziffer 4 am Ende einer Quadratzahl auftauchen? Sind beliebig viele Vieren möglich? Oder gibt es eine Obergrenze bei der Anzahl? Wenn das zutrifft: Wo liegt diese Grenze?

Hier geht es zur Lösung

Es gibt Quadratzahlen mit höchstens drei Vieren am Ende. Viermal die Ziffer 4 oder noch größere Anzahlen sind nicht möglich. Die Gewinner der fünf Bücher werden am kommenden Wochenende bekannt gegeben - im nächsten Rätsel der Woche.

Wie beweist man, dass eine Quadratzahl höchstens drei Vieren am Ende haben kann? Es sind viele verschiedene Wege, wie die fast 2000 Mails zeigen, die ich von Lesern bekommen habe. Viele sind ähnlich vorgegangen wie ich. Man überlegt sich, auf welche Ziffern die Ausgangszahl enden muss, damit ihr Quadrat auf 4, 44, 444 und so weiter endet. So kommt man für die letzten beiden Stellen auf 12, 62, 38 oder 88.

Sollen die letzten drei Ziffern der Quadratzahl 444, sein muss die Ausgangszahl auf 462, 962, 038 oder 538 enden. Die Suche nach Quadratzahlen mit vier Vieren am Ende bleibt jedoch ohne Erfolg.

Mithilfe der binomischen Formel (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 kann man nämlich zeigen, dass die Quadratzahl

(1000a + b)2 = 1.000.000a2 + 1000*2ab + b2

zwar auf drei Vieren endet, sofern b eine der vier Zahlen 462, 962, 038 oder 538 ist, dass es jedoch keine natürlichen Zahlen a und b gibt, sodass die Quadratzahl auf 4444 endet. Man untersucht dazu die vier möglichen Zahlen für b einzeln, was leider etwas umständlich ist.

Geht es nicht kürzer?

Es gibt deutlich elegantere Beweise, die mit nur wenigen Zeilen auskommen. Zum Beispiel den folgenden, den der Leser Martin Nunnemann vorgeschlagen hat:

1) 38*38 = 1444 - also gibt es eine Quadratzahl, die auf 444 endet.

2) Gibt es Quadratzahlen die auf 4444 enden? Diese müssten sich aus der Quadratur einer geraden Zahl ergeben. Gerade Zahlen g kann man wie folgt darstellen:

g = 4i oder g = 4i + 2 (i = 0, 1, 2, 3, ...)

Die Quadrate sind dann:

(4i)2 + = 16i2 oder (4i+2)2 = 16i2 + 16i + 4

Beim Teilen dieser beiden Quadrate durch 16 erhalten wir den Rest 0 oder den Rest 4. Da 10.000 = 625*16, entscheiden allein die letzten vier Stellen einer Zahl, welchen Rest sie bei Division durch 16 lässt.

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4444 dividiert durch 16 ergibt den Rest 12. Das Quadrat einer geraden Zahl hat jedoch den Rest 0 oder den Rest 4, wie wir oben gezeigt haben. Deshalb gibt es keine Quadratzahl, die auf 4444 endet.

Die Aufgabe mit den Vieren am Ende von Quadratzahlen habe ich im Archiv der Mathematikolympiaden  entdeckt.

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