Rätsel der Woche Die Tageswanderung

Eine Frau startet um neun Uhr zu einer Wanderung, um 18 Uhr ist sie wieder zu Hause. Können Sie die Strecke berechnen, wenn Sie wissen, wie schnell die Frau bergauf, bergab und in der Ebene geht?
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Es gibt Aufgaben, die unlösbar erscheinen, weil offenbar wichtige Informationen fehlen. Die heutige Aufgabe fällt definitiv in diese Kategorie.

Eine Frau bricht um neun Uhr zu einer Tageswanderung auf und ist um 18 Uhr wieder am Startpunkt angekommen. Sie ist sehr sportlich und macht beim Wandern keine Pausen – auch nicht, als sie auf dem Gipfel des Bergs ankommt, dem Ziel der Wanderung. Dort macht sie sofort kehrt und geht auf demselben Weg wieder zum Startpunkt der Wanderung zurück.

Die Frau wandert mit drei verschiedenen Geschwindigkeiten: In der Ebene sind es 4 km/h, bergauf 3 km/h und bergab 6 km/h. Wir kennen das Profil ihrer Strecke nicht. Aber wir wissen, dass es nur aus Stücken besteht, die eben sind, bergauf gehen oder bergab.

Welche Strecke hat die Frau bei ihrer Tageswanderung zurückgelegt?

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Hier geht es zur Lösung:

Die Frau ist in den 9 Stunden 36 Kilometer gewandert.

Auf dem Weg vom Startpunkt zum Gipfel gibt es ebene Stücke, Passagen, die bergauf gehen und solche, die bergab verlaufen. Für den Hinweg soll gelten: Die ebenen Stücke haben eine Gesamtlänge von e, die Segmente bergauf summieren sich zur Streckenlänge f und die Passagen bergab haben eine Gesamtlänge von b. Der Hinweg hat daher die Länge e + f + b.

Es gilt: Geschwindigkeit ist Weg dividiert durch Zeit – oder kurz v = s/t. Die Zeit ist dann Weg geteilt durch Geschwindigkeit t = s/v.

Für die Zeit des Hinwegs gilt dann (die Einheit km/h habe ich der Einfachheit halber weggelassen):

thin = e/4 + f/3 + b/6

Auf dem Rückweg ändert sich an den ebenen Wegstücken nichts – aber was auf dem Hinweg eine Strecke bergauf war, geht nun bergab und umgekehrt. Daher gilt für Zeit des Rückwegs:

trück = e/4 + f/6 + b/3

Wir wissen, dass Hin- und Rückweg zusammen 9 Stunden gedauert haben. Deshalb gilt:

9 = thin + trück

9 = e/4 + f/3 + b/6 + e/4 + f/6 + b/3

Wegen 1/3 + 1/6 = 1/2 und 1/4 + 1/4 = 1/2 können wir die Brüche zusammenfassen:

9 = e/2 + f/2 + b/2

18 = e + f + b

Der Weg vom Startpunkt bis zum Gipfel ist also 18 Kilometer lang – und die gesamte gewanderte Strecke deshalb 2*18 = 36 Kilometer.

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