Rätsel der Woche Die verrückten Primzahlwürfel

Solche Würfel sieht man selten: Sie haben acht Seiten und sind mit Primzahlen beschriftet. Wie sind die Chancen, genau auf die Augenzahl 30 zu kommen?
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Ein Würfel hat nach gängiger Vorstellung sechs Seiten, auf denen die Augenzahlen von 1 bis 6 stehen. Aber es gibt noch ganz andere Würfel - meist mit mehr, manchmal aber auch mit weniger als sechs Seiten. Sie werden vor allem in Rollenspielen genutzt. Der verrückteste Würfel, den ich kenne, hat 120 Seiten.

Ganz so groß sind die drei Würfel im folgenden Rätsel zum Glück nicht. Sie haben acht Seiten und die Form eines sogenannten Oktaeders . Die Seitenflächen sind dabei gleichseitige Dreiecke. Wegen der hohen Symmetrie des Oktaeders, der zu den platonischen Körpern gehört, handelt es sich um einen fairen Würfel. Jede der acht Seiten hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf nach oben zu zeigen.

Die hier verwendeten drei Würfel haben aber noch eine Besonderheit: Sie sind nicht mit den Zahlen von 1 bis 8 beschriftet, sondern mit den acht kleinsten Primzahlen. Also:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Wir werfen die drei achtseitigen Würfel gleichzeitig und addieren die Augenzahlen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 30 lautet?

Hier geht es zur Lösung

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 3/256.

Zunächst schauen wir, unter welchen Konstellationen überhaupt eine Augensumme von 30 möglich ist. 30 ist eine gerade Zahl. Sieben der acht Primzahlen sind ungerade. Damit die Summe aus drei Primzahlen gerade ist, dürfen unter den drei gewürfelten Primzahlen nur zwei ungerade sein oder gar keine.

Der zweite Fall ist nicht möglich. Dann hätten wir dreimal eine 2 gewürfelt und kämen mit 6 zwar auf eine gerade Zahl - nicht aber auf die geforderte Summe 30.

Also bleibt nur der Fall: eine 2 plus zwei ungerade Primzahlen. Die Summe dieser zwei ungeraden Primzahlen muss dann 28 sein. Und wenn wir uns die sieben ungeraden Primzahlen von 3 bis 19 anschauen, merken wir schnell, dass es nur eine einzige Lösung gibt: 11 und 17.

Damit steht fest: Nur wenn die drei Würfel die Augenzahlen 2, 11, 17 anzeigen, ergibt sich als Summe 30. Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Augenzahl bei einem Wurf mit einem Würfel beträgt 1/8. Bei drei gleichzeitigen Würfen und drei bestimmten Zahlen kommen wir auf:

1/8 * 1/8 * 1/8 = 1/512

Das ist aber noch nicht die gesuchte Lösung. Denn diese Zahl entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass Würfel 1 eine 2, Würfel 2 eine 11 und Würfel 3 eine 17 anzeigt. Es gibt jedoch insgesamt sechs verschiedene Kombinationen von Augenzahlen über die drei Würfel, die eine Summe von 30 ergeben:

2, 11, 17
2, 17, 11
11, 2, 17
11, 17, 2
17, 2, 11
17, 11, 2

Jede dieser sechs Varianten hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/512. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Augenzahlsumme auf 30 zu kommen:

6/512 = 3/256

Diese Aufgabe habe ich im Buch "Gehirntraining" vom Dudenverlag entdeckt.

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