Rätsel der Woche Die verrückten Primzahlwürfel

Solche Würfel sieht man selten: Sie haben acht Seiten und sind mit Primzahlen beschriftet. Wie sind die Chancen, genau auf die Augenzahl 30 zu kommen?

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Ein Würfel hat nach gängiger Vorstellung sechs Seiten, auf denen die Augenzahlen von 1 bis 6 stehen. Aber es gibt noch ganz andere Würfel - meist mit mehr, manchmal aber auch mit weniger als sechs Seiten. Sie werden vor allem in Rollenspielen genutzt. Der verrückteste Würfel, den ich kenne, hat 120 Seiten.

Ganz so groß sind die drei Würfel im folgenden Rätsel zum Glück nicht. Sie haben acht Seiten und die Form eines sogenannten Oktaeders. Die Seitenflächen sind dabei gleichseitige Dreiecke. Wegen der hohen Symmetrie des Oktaeders, der zu den platonischen Körpern gehört, handelt es sich um einen fairen Würfel. Jede der acht Seiten hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf nach oben zu zeigen.

Die hier verwendeten drei Würfel haben aber noch eine Besonderheit: Sie sind nicht mit den Zahlen von 1 bis 8 beschriftet, sondern mit den acht kleinsten Primzahlen. Also:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Wir werfen die drei achtseitigen Würfel gleichzeitig und addieren die Augenzahlen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis 30 lautet?



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noalk 06.04.2019
1. Bewertung des Rätsels
Warum gibt es zwei Buttons mit der Aufschrift "Bewertung"? Das suggeriert, man müsse/könne Schwierigkeit und Gefallen des Rätsels getrennt voneinander bewerten. Tatsächlich ist das jedoch nicht der Fall. Mit Ankllicken eines dieser Buttons werden beide Bewertungen abgegeben. Dies verfälscht das Ergebnis. Bitte ändern und nur einen Button anbieten!
thom3 06.04.2019
2. Die Lösung findet man auch schnell,
wenn man nur von den großen Zahlen ausgeht: Zur 19 findet man keine Summe 11 aus zwei kleineren Zahlen, zur 17 nur die Lösung 11 und 2, zur 13 keine 2er-Summe 17, dazu weder zu 2 x 13 die 4 noch zu 2 x 11 die 8, noch gibt es 3 x 10, also fertig. wk 3/8 x 2/8 x 1/8 =6/512=3/256
permissiveactionlink 06.04.2019
3. Nachdem ich letzten Sonntag
so grandios übel in den April geschlittert bin, habe ich diesmal zunächst nach der Lösung geschaut, nachdem ich meine hatte. Dass die 2 dabei sein muss, ist klar, sonst kann die Summe dreier Primzahlen unmöglich geradzahlig sein. Rest 28 = 11 + 17. Da die Reihenfolge der drei geworfenen Primzahlen ohne Bedeutung ist, hat man für den ersten Würfel die Wahrscheinlichkeit 3/8, für den zweiten Würfel nurmehr 2/8, und für den letzten Würfel nur noch 1/8. Die Einzelwahrscheinlichkeiten müssen multipliziert werden, da sie gleichzeitig eintreten. Also 6/512 = 3/256. Es gibt übrigens (8+3-1)!/(3!*(8-1)!) = 120 mögliche Primzahlenkombinationen als Summanden, inklusive solche mit zwei oder drei identischen Primzahlen in der Summe, wenn die Reihenfolge ohne Bedeutung ist. Diese Kombinationen sind aber offenbar nicht gleichverteilt, sonst wäre die Lösung 1/120. Die drei verschiedenen Würfelfarben sind irritierend, man kann auch mit einem Oktaederwürfel dreimal würfeln, das ist gehupft wie gesprungen. Wenn man eine Urne mit acht Kugeln befüllt, jede davon beschriftet mit einer anderen Primzahl von 2 bis 19, und dann dreimal eine Kugel zieht und diese nach Aufschreiben wieder in die Urne legt, dann ist die Summe der gezogenen Primzahlen auch in 6/512 Durchgängen 30, zumindest dann, wenn die Anzahl der Durchgänge sehr viel größer als 512 ist.
alex300 06.04.2019
4. Einfach
(1/8)^3*3! 1/8 kommt, dass nur eine Zahl je Würfel passt (1/8)^3, weil es 3 Würfel sind 3!=6 kommt aus beliebigen Permutationen von den 3 Zahlen (die Reihenfolge ist beliebig)
betonklotz 07.04.2019
5. Simple Sache
Es gibt genau eine Kombination mit der Summe 30 und zwar 2, 11, 17. Und da die drei Zahlen alle verschieden sind, gibt es 3! = 6 Möglichkeiten, diese anzuordnen. Da die drei Würfel acht Seiten haben, die alle gleich wahrscheinlich sind ist die Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses (1/8)^3 = 1/512, damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1 * 6 * 1/512 = 3/256.
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