Rätsel der Woche Drei Gefangene, aber nur zwei Begnadigungen

Sie müssten noch jahrelang hinter Gittern schmoren - doch dann erfahren die drei Frauen, dass zwei von ihnen am nächsten Tag begnadigt werden. Nun lautet die Frage: Welche?
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Das ist wirklich gemein! Erst verurteilt der König die drei Einbrecherinnen zu langen Haftstrafen. Und dann kündigt er an, dass zwei der Frauen schon einen Tag später begnadigt werden, ohne allerdings zu verraten, welche beiden das sind.

Die drei Gefangenen Anna, Aida und Katja halten die Ungewissheit kaum aus - aber sie müssen sich nun zwangsläufig bis zum nächsten Morgen gedulden, bis sie erfahren, wer von ihnen freigelassen wird.

Anna überlegt, ob sie nicht die Wärterin fragen soll, die heute wieder Spätdienst hat. Diese, so hat Anna gerade auf dem Gefängnishof aufgeschnappt, soll auf jeden Fall Bescheid wissen, was der König entschieden hat.

Anna durchdenkt ihre Situation: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 kommt sie morgen frei. Es ist ihr unangenehm, die Wärterin nach ihrem eigenen Schicksal zu fragen. Stattdessen will sie sich erkundigen, wie es um ihre Mitgefangenen steht.

Anna überlegt sich deshalb folgende Anfrage an die Wärterin: "Nennen Sie mir bitte den Namen einer Frau, die morgen entlassen wird. Es darf aber nicht mein Name sein."

Als Anna weiter darüber nachdenkt, bekommt sie Zweifel: Wenn ihr der Name einer anderen Begnadigten bekannt ist, liegen ihre eigenen Chancen nur noch bei 1/2, selbst auch freizukommen. Wenn sie die Anfrage hingegen nicht stellt, wird sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 begnadigt. Daher beschließt Anna, die Wärterin lieber nicht anzusprechen.

Ist Annas Argumentation richtig? Oder macht sie hier einen Fehler?

Hier geht es zur Lösung

Annas Argumentation stimmt nicht, die Chancen auf eine Freilassung betragen 2/3 - egal ob sie die Wärterin befragt oder nicht.

Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe dem Ziegenproblem zu ähneln - einem berüchtigten Problem aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das so manchen schon schlaflose Nächte gekostet hat. Das Rätsel spielt in einer TV-Show, bei der Sie mit etwas Glück ein Auto gewinnen können.

Das Auto steht hinter einer von drei Türen, hinter den anderen beiden Türen wartet je eine Ziege. Sie suchen sich eine Tür aus, doch anstatt diese zu öffnen, geht der Moderator zu einer anderen Tür und öffnet sie. Dahinter steht eine Ziege. Der Moderator bietet Ihnen nun an, Ihre Türauswahl noch einmal zu überdenken. Tatsächlich verdoppeln Sie Ihre Gewinnchancen, wenn Sie die Tür wechseln - ausführliche Infos finden Sie weiter unten.

Doch Annas Problem ist nicht direkt mit dem Ziegenproblem vergleichbar. Anna macht den Fehler, dass sie die möglichen Fälle nicht vollständig auflistet und die genauen Wahrscheinlichkeiten dafür berechnet.

Folgende Fälle sind möglich:

1) Anna und Aida werden entlassen, die Wärterin nennt den Namen Aida. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/3.

2) Anna und Katja werden entlassen, die Wärterin nennt den Namen Katja. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/3.

3a) Aida und Katja werden entlassen, die Wärterin nennt den (zufällig gewählten) Namen Aida. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/6.

3b) Aida und Katja werden entlassen, die Wärterin nennt den (zufällig gewählten) Namen Katja. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/6.

Wenn Anna der Name Aida genannt wird, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie selbst freikommt?

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 (Fall 1) + 1/6 (Fall 3a) = 1/3 + 1/6 = 1/2 gibt die Wärterin den Namen Aida an. Frei kommt Anna aber nur im Fall 1), der eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 hat.

Die Wahrscheinlichkeit dafür freizukommen, ist deshalb (1/3)/(1/2) = 2/3 - und das ist genau derselbe Wert, den Anna für den Fall ausgerechnet hat, dass sie niemanden fragt.

Auf die gleiche Weise kommen wir auf dieselbe Wahrscheinlichkeit von 2/3, falls die Wärterin Anna den Namen Katja nennt.

Vielen Dank an den Leser Michael Peters, der diese Aufgabe vorgeschlagen hat. Sie stammt aus dem Buch "Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions"  von Frederick Mosteller.

Das Ziegenproblem

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