Rätsel der Woche Umkreist von Kreisen

Ein kleiner Zylinder passt exakt in die Lücke zwischen drei gleich großen Scheiben. Können Sie den Radius des Zylinders berechnen, wenn Sie den der Scheiben kennen?
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Galileo Galilei war ein Universalgelehrter, aber ein Fachgebiet der Mathematik hatte es ihm besonders angetan: die Geometrie. Ohne Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren könne der Mensch die Welt nicht verstehen, schrieb er 1623 in seinem Buch "Il Saggiatore" . Mathematik sei die Sprache des Universums.

Im neuen Rätsel können Sie beweisen, wie gut Sie selbst die von Galileo so verehrte Geometrie beherrschen.

Drei gleich große, kreisrunde Scheiben liegen so auf einem Tisch, dass sie sich alle gegenseitig berühren - siehe Bild oben. In dem Freiraum zwischen den drei Scheiben steht ein kleiner Zylinder, der gerade so breit ist, dass er alle drei Scheiben um ihn herum zugleich berührt. Wäre er minimal größer, würde er nicht mehr in die Lücke passen.

Wie groß ist der Radius r des kleinen Zylinders im Verhältnis zum Radius R der drei großen Scheiben?

Hier geht es zur Lösung

Die Lösung lautet r = 0,1547*R. Sie können auch schreiben: r = (2/Wurzel(3) - 1)*R.

Das Problem wird klarer, wenn Sie sich den Zwischenraum zwischen den drei Kreisen genauer anschauen und einige Strecken einzeichnen, deren Längen teils bekannt sind.

Folgender Slider zeigt einen Weg zur Lösung Schritt für Schritt :

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Schritt für Schritt: Die Lösung des Kreisrätsels

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Die Hypotenuse des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks hat die Länge R+r - siehe Bild 4 im Slider oben.

Falls Sie nicht wissen, was die Hypotenuse ist: Es ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel, also die rote Verbindungslinie von Mittelpunkt des kleinen Kreises zum linken Eckpunkt des Dreiecks.

Der Winkel zwischen Hypotenuse und der blauen Dreieckseite unten beträgt 30 Grad.

Die Hälfte der blauen Dreieckseite, die gemeinsam mit der roten Hypotenuse diesen 30-Grad-Winkel bildet, wird auch Ankathete genannt und hat eine Länge von R.

Wir nutzen die Kosinusfunktion und schreiben:

cos(30) = Ankathete/Hypotenuse

cos(30) = R/(R+r)

Das stellen wir nach r um:

r = R*(1 - cos(30))/cos(30)

r = R*(1/cos(30) - 1)

Außerdem gilt:

cos(30) = Wurzel(3)/2 = 0,866

r = (2/Wurzel(3) - 1)*R

r = 0,1547*R

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