Rätsel der Woche Fünf mal unendlich?

Primzahlen stellen Mathematiker vor große Rätsel. Doch die Frage nach fünf aufeinanderfolgenden Zahlen, die alle keine Primzahlen sein dürfen, beantworten sie mit links. Schaffen Sie das auch?
Primzahlen bis 100 (in Rot)

Primzahlen bis 100 (in Rot)

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Sie sind größer als 1 und haben genau zwei Teiler: sich selbst und die Zahl 1. So kurz und knapp sind Primzahlen definiert. Doch die vergleichsweise schlichte Beschreibung täuscht: Primzahlen bereiten Mathematikern bis heute Kopfzerbrechen.

Nicht beantwortet ist zum Beispiel die Frage, ob es unendlich viele sogenannte Primzahlzwillinge gibt. Das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt wie 5 und 7 oder 11 und 13. Bei der Suche nach möglichst großen Primzahlen sind Mathematiker auf Computerhilfe angewiesen. Primzahlen spielen auch eine zentrale Rolle bei der Verschlüsselung von Daten.

Im neuen Rätsel müssen Sie zum Glück keine Primzahlen aufspüren - im Gegenteil. Sie sollen fünf aufeinanderfolgende natürliche Zahlen finden, die alle garantiert keine Primzahlen sind.

Weil das aber noch zu leicht wäre, lautet die Aufgabe wie folgt:

Zeigen Sie, dass es unendlich viele Beispiele für fünf aufeinanderfolgende natürliche Zahlen gibt, von denen keine eine Primzahl ist.

Hier geht es zur Lösung

Die erste Frage lautet: Gibt es überhaupt fünf aufeinander folgende natürliche Zahlen, die sämtlich keine Primzahlen sind?

Ja, das kleinste derartige Quintett bilden:

24, 25, 26, 27, 28

Wenn wir zu jeder dieser Zahl ein Vielfaches von 24*25*26*27*28 addieren, erhalten wir wieder fünf aufeinander folgende Zahlen, die alle keine Primzahlen sind. Warum?

Die erste Zahl, 24 + n*24*25*26*27*28 (n ist eine beliebige positive ganze Zahl) ist durch 24 teilbar. Zahl Nummer zwei, 25 + n*24*25*26*27*28, ist durch 25 teilbar und so weiter bis zur fünften Zahl 28 + n*24*25*26*27*28, die durch 28 teilbar ist.

Weil es unendlich viele verschiedene Vielfache von 24*25*26*27*28 gibt, die wir zu den Ausgangszahlen addieren können, haben wir bewiesen, dass es unendlich viele der gesuchten Nicht-Primzahlen gibt.

Ein Leser hat mir auch noch eine andere Lösung vorgeschlagen :

Auf k*2*3*5 + 1 = 30*k + 1 (k>0) folgen stets fünf Nicht-Primzahlen. Denn k*2*3*5+2 ist durch 2 teilbar, k*2*3*5+3 durch 3, k*2*3*5+4 durch 2, k*2*3*5+5 durch 5 und k*2*3*5+6 durch 2 und 3.

Es gibt eine weitere allgemeine Lösung: Jede auf die Ziffer 3 endende und zugleich durch 3 teilbare Zahl z ist Teil einer Gruppe aus fünf aufeinander folgenden Nicht-Primzahlen. Diese Gruppe wird von den Zahlen z-1, z, z+1, z+2, z+3 gebildet. z-1, z+1, z+2, z+3 enden auf 2, 4, 5 beziehungsweise 6 und sind daher keine Primzahlen.

War doch gar nicht so schwer, oder?

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