Rätsel der Woche Hauptsache, der Durchschnitt stimmt

Max, Barbara und Markus streichen Zahlen von einem Zettel. Sie wollen dabei erreichen, dass das arithmetische Mittel der verbleibenden Zahlen genauso groß ist wie der ursprüngliche Mittelwert. Kann das gelingen?
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Im neuen Rätsel geht es um die Zahlen von 1 bis 100, die auf einem großen Blatt Papier notiert sind. Jemand streicht 25 Zahlen davon weg. Ob diese 25 Zahlen gezielt oder zufällig ausgewählt werden, wissen wir nicht.

Nun soll eine andere Person unter den verbliebenen Zahlen 25 weitere auswählen und streichen. Und zwar so, dass der Durschnitt, also das arithmetische Mittel, der verbleibenden 50 Zahlen mit dem arithmetischen Mittel der 100 Zahlen übereinstimmt, die ursprünglich auf dem Blatt Papier notiert waren. Ist das überhaupt möglich?

Max, Barbara und Markus sind sich da uneins.

Max sagt: "Also ich glaube, das klappt nicht."

Barbara meint: "Es kann funktionieren, aber nicht immer."

Markus erklärt: "Ich bin mir da ziemlich sicher - das klappt immer."

Wer hat recht?

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Hier geht es zur Lösung

Markus liegt richtig. Man kann immer 25 Zahlen finden, sodass das arithmetische Mittel der verbleibenden 50 Zahlen mit dem arithmetischen Mittel der 100 Zahlen übereinstimmt. Dieser Mittelwert beträgt 101/2 = 50,5.

Beim Streichen der 25 Zahlen nutzt man eine Strategie, bei der Partnerzahlen eine zentrale Rolle spielen. Jede der 100 ursprünglich auf dem Papier notierten Zahlen hat eine Zahl, die wir ihren Partner nennen. Addiert man eine Zahl und ihren Partner, erhält man 101. Partnerzahlen sind also zum Beispiel 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98 oder 50 und 51.

Nehmen wir an, dass noch alle 100 Zahlen auf dem Papier stehen. Streicht man eine Zahl und ihren Partner, ändert sich das arithmetische Mittel der verbleibenden Zahlen nicht - es beträgt davor und danach 101/2 = 50,5.

Nun zu unserem Spiel. Wir schauen uns an, welche 25 Zahlen zuerst gestrichen wurden. Wenn eine Zahl gestrichen ist, nicht aber ihr Partner, streichen wir den Partner. Sind eine Zahl und ihr Partner gestrichen, zum Beispiel 100 und 1, dann suchen wir uns eine andere nicht gestrichene Zahl, deren Partner ebenfalls noch nicht gestrichen ist, und streichen diese beide Zahlen.

Auf diese Weise streichen wir zusätzlich zu den bereits gestrichenen 25 Zahlen 25 weitere - und sorgen dafür, dass das arithmetische Mittel der verbleibenden 50 Zahlen genau 101/2 ist.

Diese Aufgabe habe ich im Archiv der Mathematikolympiaden  entdeckt.

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