Rätsel der Woche Jonglieren mit Potenzen
Sie haben vielleicht schon von Rechengenies gehört, die im Kopf die 13. Wurzel aus einer hundertstelligen Zahl ziehen können. Und dafür nur ein paar Sekunden brauchen.
Keine Angst, Sie müssen das jetzt nicht machen. Die Aufgabe ist im Vergleich dazu ein Kinderspiel:
Auf welche Ziffer endet die Zahl
1116 + 2226 + 3336 + 4446 + 5556 ?
Eine Bitte: Benutzen Sie für die Lösung weder Taschenrechner noch Computer!
Hier geht es zur Lösung
Der Trick besteht darin, dass Sie nur auf die Einerstellen der fünf Zahlen schauen müssen. Allein die sechsten Potenzen der Einerstellen entscheiden darüber, auf welche Ziffer die fünf Potenzen enden.
Warum ist das so? Das wird sofort klar, sobald man die zu potenzierende Zahl in ihren Einer und ein verbleibendes Vielfaches von 10 aufspaltet.
Beispiel 1116: Wir schreiben stattdessen (110+1)6. Man kann dies allgemein als binomische Formel notieren in der Form (a+b)6. Das können wir ausrechnen. Lassen Sie sich nicht vom komplizierten Ergebnis irritieren, die Formel wird eigentlich gar nicht weiter benötigt:
(a+b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20 a3b3 + 15 a2b4 + 6ab5 + b6
Weil in der Zahl a der Faktor 10 drinsteckt (a=110=10*11), sind alle Summanden rechts des Gleichheitszeichens Vielfache von 10, denn überall steckt mindestens a drin. Einzige Ausnahme ist b6. Und deshalb entscheidet allein b darüber, auf welche Ziffer (a+b)6 endet (wenn a ein Vielfaches von 10 ist).
Wir können die Aufgabe deshalb auch wie folgt formulieren: Auf welche Ziffer endet die Zahl
16 + 26 + 36 + 46 + 56 ?
Das ist schon viel einfacher.
Bei 16 ist es 1.
Bei 26 multipliziere ich 22 * 22 * 22 = 4*4*4 = 64 und komme auf 4.
Nun zu 36. Hier erhält man 32 * 32 * 32 = 9*9*9. Die letzte Ziffer davon ist eine 9.
Auf ähnliche Weise finden wir heraus, dass die letzte Ziffer von 46 eine 6 ist und die von 56 eine 5.
Die Summe endet dann wie die Summe 1 + 4 + 9 + 6 + 5 = 25, und zwar auf 5. Das ist auch die gesuchte Lösung.
Wer noch mal genau nachrechnen möchte:
1116 = 1.870.414.552.161
2226 = 119.706.531.338.304
3336 = 1.363.532.208.525.369
4446 = 7.661.218.005.651.456
5556 = 29.225.227.377.515.625
Addiert man die fünf Zahlen zusammen, erhält man 38.371.554.537.582.915 - und die Zahl endet tatsächlich auf 5!
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