Kalkulier-Kontest Knacknüsse für Meister-Kopfrechner

Was ist die Wurzel aus 114118? War der 29. Mai 1842 ein Sonntag? Wer beim Duell der weltbesten Kopfrechner in Leipzig dabei war, brauchte volle Konzentration und gute Nerven. Testen Sie ihre Rechenkünste - SPIEGEL ONLINE zeigt die Aufgaben und Lösungswege.
Von Holger Dambeck und Ralf Geißler

Es war ein hartes Stück Kopfarbeit: Den ganzen Tag mussten sich die Teilnehmer der Weltmeisterschaft im Kopfrechnen durch Hunderte Zahlen, Datums- und Zeitangaben arbeiten. Der jüngste Teilnehmer war der elf Jahre alte Vinay Bharadwaj aus Indien, der älteste der 68-jährige Niederländer Wilhelm Bouman.

Die Rechenkünstler mussten sich in sechs Kategorien bewähren. Dazu zählten die Multiplikation achtstelliger Zahlen und Additionen zehnstelliger Zahlen. Auch Wurzelziehen und Kalenderrechnen standen auf dem Programm. Zum Schluss gab es noch Überraschungsaufgaben, auf die sich kein Teilnehmer hatte vorbereiten können.

Papier und Stift reichten manchem Teilnehmer als Hilfsmittel nicht aus. Der Libanese Issam Khneisser etwa verband sich die Augen und steckte Stöpsel in die Ohren, um sich besser konzentrieren zu können. Die Deutsche Tina Bauer griff zu einer stark abgedunkelten Sonnenbrille, als wollte sie Poker spielen.

Der deutsche Jan van Koningsveld setzte sich einen Ohrenschützer auf, den normalerweise Bauarbeiter tragen, die mit dem Presslufthammer Beton traktieren. "Man sitzt da, um eine gewisse Anspannung aufzubauen, und dann kommen die ganzen Ankündigungen für die Prozedur - und dann noch in mehreren Sprachen", sagte van Koningsveld. Da sei die Konzentration natürlich weg. "Ich bin da zumindest sehr anfällig."

Hätten Sie eine Chance bei der WM im Kopfrechnen gehabt? Probieren Sie es aus! SPIEGEL ONLINE hat alle Aufgaben aus den vier Hauptkategorien dokumentiert - und erläutert die Lösungstechniken der Rechenprofis. Die WM ging am Ende übrigens aus wie die Fußball-Europameisterschaft: Spanien siegte vor Deutschland.

Addieren zehnstelliger Zahlen

Die Summe zweier Zahlen berechnen - das klingt zunächst ziemlich simpel. Was die Teilnehmer der WM im Kopfrechnen vorgesetzt bekamen, hatte mit dem kleinen Einmaleins aber nur wenig zu tun. Die Zahlen waren zehnstellig - und es mussten immer gleich zehn davon addiert werden.

Zeit für die insgesamt zehn Aufgaben: 10 Minuten.

Wie viele schaffen Sie? Und nicht vergessen: Taschenrechner und Computer sind nicht erlaubt.

Die Lösungen der Additionsaufgaben

Bei der Addition gibt es nach Aussage der befragten Teilnehmer keinerlei Kniffe. "Ich addiere die Zahlen so, wie es in der Schule gelehrt wird", erklärt beispielsweise der Teilnehmer Rüdiger Gamm. Der 37-jährige Rechenkünstler aus Baden-Württemberg beginnt bei den hinteren Stellen und überträgt den Rest dann Spalte für Spalte nach links. Für eine Aufgabe benötigt er knapp 40 Sekunden.

Hier die Lösungen (allerdings nicht im Kopf berechnet, sondern mit Excel):

In der Disziplin Addition gab es folgendes Ergebnis:

1) Alberto Coto (Spanien)
2) Jorge Arturo Mendoza Huertas (Peru)
3) Salvador Bisshop Flores (Spanien)

Multiplizieren von zwei achtstelligen Zahlen

Nach dem Addieren kommt das Multiplizieren. Auch die zweite Aufgabe hat mit dem Einmaleins etwa so viel zu tun wie Spitzensport mit Bürogymnastik.

Zeit für die insgesamt zehn Aufgaben: 15 Minuten.

29513736 x
92842033

49263706 x
99566148

21872080 x
13970464

75394407 x
41771997

77365082 x
44247254

79884383 x
50061763

76635696 x
53160371

29263398 x
56673310

97335558 x
73073933

25212213 x
18679221

Die Lösungen der Multiplikationsaufgaben

Für derartig komplizierte Multiplikationen ist die sogenannte Kreuzmethode das Mittel der Wahl. Praktisch alle Kopfrechenkünstler nutzen sie. Wie sie funktioniert, lässt sich gut an einer vereinfachten Aufgabe mit zwei lediglich dreistelligen Zahlen zeigen:

691 x 294

Der Deutsche Jan van Koningsveld erläutert die Kreuzmethode:

"Zunächst multipliziere ich die beiden Ziffern der letzten Stellen 1x4 = 4. Die letzte Stelle der Lösung ist eine 4. Dann multipliziere ich die Ziffern der letzten zwei Stellen über Kreuz 4x9 + 1x9 = 45. Die vorletzte Stelle der Lösung ist eine 5.

Ich merke mir den Rest 4 und addiere ihn zur nächsten Kreuzrechnung über drei Stellen dazu, also

4 + 4x6 + 2x1 + 9x9 = 111

Die drittletzte Stelle der Lösung ist eine 1.

Ich merke mir den Rest 11 und addiere ihn zur Kreuzrechnung über die ersten beiden Stellen dazu.

11 + 9x6 + 2x9 = 83

Die viertletzte Stelle der Lösung ist eine 3. Der Rest 8 wird zur Multiplikation der ersten beiden Stellen addiert.

8 + 6x2 = 20. Die Lösung lautet 203.154"

Bei achtstelligen Zahlen, wie im Wettbewerb genutzt, sind bei der Kreuzmethode übrigens 127 Rechenoperationen notwendig. Jan van Koningsveld benötigt dafür 38 Sekunden. Das ist nach Angaben des WM-Organisators Ralf Laue der aktuelle Weltrekord. Der beste Multiplikator wurde van Koningsfeld trotzdem nicht. Die Rangfolge:

1) Alberto Coto (Spanien)
2) Mohammed Sighir Saïd (Algerien)
3) van Koningsveld, Gamm (beide Deutschland), Huertas (Peru)

Das sind die Ergebnisse:

29513736 x 92842033 = 2740115251665288

49263706 x 99566148 = 4904997442624488

21872080 x 13970464 = 305563106245120

75394407 x 41771997 = 3149374943020779

77365082 x 44247254 = 3423192433984828

79884383 x 50061763 = 3999153049147229

76635696 x 53160371 = 4073982031203216

29263398 x 56673310 = 1658453626507380

97335558 x 73073933 = 7112692043809614

25212213 x 18679221 = 470944498526073

Hinweis: In die ursprünglich hier angegebenen Lösungen hatte sich ein Fehler eingeschlichen. Bei den mit Excel berechneten Ergebnissen war jeweils die letzte Stelle auf- oder abgerundet. Der Taschenrechner von Windows XP arbeitet hingegen exakt.

Quadratwurzel sechstelliger Zahlen

Mit dem Taschenrechner ist es ziemlich leicht, die Wurzel zu ziehen. Beim Wettbewerb der Superhirne mussten die Teilnehmer jedoch auf ihn verzichten. Das Ergebnis, die Quadratwurzel aus sechsstelligen Zahlen, sollte bis auf sechs Stellen nach dem Komma genau berechnet werden - nur dann gab es für eine richtige Lösung die volle Punktzahl.

Zeit für die insgesamt zehn Aufgaben: 15 Minuten.

114118
549633
418378
910462
330504
404618
836454
221456
989472
955040

Die Lösungen des Wurzelziehens

Es gibt verschiedene Techniken für das Wurzelziehen. Man kann beispielsweise den Umweg über den Logarithmus gehen: Die Zahl wird logarithmiert, das Ergebnis halbiert und anschließend wieder potenziert. Diese Methode nutzt beispielsweise der deutsche Rechenkünstler Gert Mittring, wenn er die 13. Wurzel aus einer 100-stelligen Zahl zieht. Mittring, der bei der WM im Kopfrechnen in Leipzig nicht dabei war, hat seine Technik auch in einem Artikel für SPIEGEL ONLINE ausführlich erläutert.

Der diesjährige Vize-Weltmeister im Wurzelziehen, Willem Bouman aus Holland, setzt beim Wurzelziehen nicht auf den Logarithmus, sondern auf sein gutes Gedächtnis. Er hat sämtliche Quadratzahlen bis 1000 im Kopf. So kann er sich der Lösung annähern, wie das Beispiel 208922 zeigt:

Bouman weiß sofort, dass die nächste Quadratzahl zu 208922 die 457 ist, denn 457² = 208849. Vor dem Komma muss die Lösung also 457 lauten. Die Nachkommastellen berechnet er anhand der Differenz zwischen 208922 und 208849 = 73. Das Ergebnis lautet am Ende 457,0798617

Die Sieger in der Rubrik Wurzelziehen:

1) Jan van Koningsveld (Deutschland)
2) Willem Bouman (Niederlande)
3) Robert Fountain (Großbritannien)

Und das sind die richtigen Lösungen - sogar auf acht Stellen genau:

114118: 337,81355805

549633: 741,37237607

418378: 646,82145914

910462: 954,18132449

330504: 574,89477298

404618: 636,09590472

836454: 914,57859148

221456: 470,59111764

989472: 994,72207174

955040: 977,26147985

Kalenderrechnen

Das ist eine Herausforderung: Wissen Sie, ob der 29. Mai 1842 ein Montag war? Oder vielleicht ein Sonntag? Gesucht ist der korrekte Wochentag nach dem gregorianischen Kalender. Alle Daten sind zufällig aus dem Zeitraum der Jahre 1600 bis 2100 ausgewählt.

Zeit für die 55 Aufgaben: jeweils eine Minute.

29.05.1842
30.10.1828
23.07.1811
18.03.2012
03.11.1679
05.07.1863
03.06.1688
03.11.2062
03.09.1891
16.10.1746
05.12.1895
04.06.1854
18.12.1869
20.07.2045
18.04.1610
25.05.2002
01.10.1857
28.12.1633
20.09.1937
22.12.1621
12.11.1861
22.04.1845
03.09.1891
14.05.2055
30.06.1628
24.08.2063
07.09.1873
28.08.2033
25.04.2094
15.08.1649
22.07.2028
14.01.2039
06.05.1721
11.01.1917
04.01.1611
13.08.1634
14.01.1656
23.02.2028
19.05.1758
19.04.1865
11.05.1731
17.02.1875
28.08.1918
05.01.2071
29.05.1854
16.04.1607
01.09.1861
30.09.1808
02.08.1919
21.08.1716
19.01.1820
29.04.2039
13.03.1872
08.02.1958

Die Lösungen des Kalenderrechnens

Auch hier existieren verschiedene Ansätze, um elegant und schnell zum Ziel zu kommen. Einen stellt die Formel des deutschen Mathematikers Christian Zeller dar, auch als Zellers Kongruenz bezeichnet. Man setzt die Zahlen für Tag, Monat und Jahr in diese Formel ein und bestimmt anschließend mit der Modulo-Funktion den Wochentag, wobei 1 für Montag, 2 für Dienstag usw. steht. Wikipedia erläutert ausführlich , wie man mit Zellers Kongruenz rechnet.

Die Teilnehmer kalkulieren im Prinzip genauso, arbeiten dabei jedoch häufig mit einem oder mehreren Fixdaten, die sie im Kopf haben und zu dem sie den Wochentag wissen. Die meisten Kopfrechner orientieren sich am 1. Januar 1900, der ein Montag war. Von da aus kann man sich über Kennzahlen herantasten, die man ebenfalls auswendig kennen muss, und die abhängig vom Fixdatum sind. Auf diese Weise gehe auch der Weltmeister im Kalenderrechnen, Jan van Koningsveld vor, wie das Beispiel 22. Juli 1858 zeigt.

Der Juli hat die Kennzahl 6. Addiert zu 22 Tagen ergibt sich 28, was genau vier Wochen entspricht. Damit bleibt kein Rest übrig, also ist die erste Zwischensumme 0.

Das Jahr 1800 besitzt die Kennzahl 2, dies hat van Koningsveld auswendig gelernt. Die 58 Restjahre haben ebenfalls die Kennzahl 2. Daraus ergibt sich: 0+2+2=4. Das Ergebnis 4 steht bei diesem Kennzahlensystem für den Donnerstag. Damit war der 22. Juli 1858 ein Donnerstag.

Der Vize-Weltmeister im Kalenderrechnen, Matthias Kesselschläger, geht anders vor. Er hat alle Samstage des Jahres 1963 im Kopf – das ist sein Geburtsjahr. Von dort ausgehend ermittelt er die richtigen Wochentage.

Das Ergebnis in der Kategorie Kalenderrechnen:

1) Jan van Koningsveld (Deutschland)
2) Matthias Kesselschläger (Deutschland)
3) Rüdiger Gamm, Robin Wersig (beide Deutschland)

Die gesuchten Wochentage finden Sie hier:

29.05.1842 Sonntag
30.10.1828 Donnerstag
23.07.1811 Dienstag
18.03.2012 Sonntag
03.11.1679 Freitag
05.07.1863 Sonntag
03.06.1688 Donnerstag
03.11.2062 Freitag
03.09.1891 Donnerstag
16.10.1746 Sonntag
05.12.1895 Donnerstag
04.06.1854 Sonntag
18.12.1869 Samstag
20.07.2045 Donnerstag
18.04.1610 Sonntag
25.05.2002 Samstag
01.10.1857 Donnerstag
28.12.1633 Mittwoch
20.09.1937 Montag
22.12.1621 Mittwoch
12.11.1861 Dienstag
22.04.1845 Dienstag
03.09.1891 Donnerstag
14.05.2055 Freitag
30.06.1628 Freitag
24.08.2063 Freitag
07.09.1873 Sonntag
28.08.2033 Sonntag
25.04.2094 Sonntag
15.08.1649 Sonntag
22.07.2028 Samstag
14.01.2039 Freitag
06.05.1721 Dienstag
11.01.1917 Donnerstag
04.01.1611 Dienstag
13.08.1634 Sonntag
14.01.1656 Freitag
23.02.2028 Mittwoch
19.05.1758 Freitag
19.04.1865 Mittwoch
11.05.1731 Freitag
17.02.1875 Mittwoch
28.08.1918 Mittwoch
05.01.2071 Montag
29.05.1854 Montag
16.04.1607 Montag
01.09.1861 Sonntag
30.09.1808 Freitag
02.08.1919 Samstag
21.08.1716 Freitag
19.01.1820 Mittwoch
29.04.2039 Freitag
13.03.1872 Mittwoch
08.02.1958 Samstag

Falls Sie bei der Lösung auch mit Excel schummeln wollten: Das Tabellenkalkulationsprogramm hat zwar eine Funktion zum Berechnen von Wochentagen (=WOCHENTAG(DATUM)), diese kann Daten vor 1900 aber dummerweise nicht verarbeiten. Zum Glück gibt es aber eine Umsetzung der Zeller-Formel in Excel , mit der auch die angegebenen Wochentage ermittelt wurden.

Die Überraschungsaufgaben

Nach der Pflicht kommt die Kür. Die Veranstalter haben sich zwei knifflige Rechenaufgaben ausgedacht, auf die sich die Teilnehmer nicht vorbereiten konnten. Zum einen ging es um eine Kombination aus Multiplizieren und Subtrahieren, insgesamt 34 Mal mussten Gleichungen wie die folgende gelöst werden:

4872 x (958 - 142)

Zum anderen sollten die Teilnehmer aus vier Zeitangaben der Form Stunde, Minute, Sekunde die Durchschnittszeit kalkulieren.

4h 16m 23s
9h 20m 41s
5h 50m 8s
2h 39m 17s

Das richtige Ergebnis lautet 5h 31m 37s. Insgesamt 21 derartige Aufgaben galt es zu lösen.

Am Ende rechnete die Jury die Punkte aus allen sechs Disziplinen zusammen, und der Sieger der Kopfrechnenweltmeisterschaft 2008 stand fest. Der Titel ging nach Spanien - hier die Rangfolge:

1) Alberto Coto (Spanien)
2) Jan van Koningsveld (Deutschland)
3) Jorge Arturo Mendoza Huertas (Peru)

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