Lösung des Rätsels der Woche: Die Spirale abrollen

Dieses Problem hat es in sich: Auf einen langen, schmalen Zylinder ist eine Linie gezeichnet, die wie eine Spirale von unten nach oben verläuft. Wie lang ist diese Linie?

Fünf Umdrehungen von einer Seite zur anderen: Wie lang ist die grüne Linie?

Foto: SPIEGEL ONLINE

Aufgabe: Gegeben ist ein zehn Zentimeter langer Zylinder mit einem Durchmesser von einem Zentimeter. Eine grüne Linie umrundet den Zylinder auf seiner Oberfläche wie eine Spirale - und zwar genau fünf Mal. Wie lang ist diese Linie?

Lösung: Die Schwierigkeit besteht darin, dass die spiralförmige Linie dreidimensional ist. Doch es gibt einen einfachen Trick, um die Aufgabe zu lösen. Rollen Sie die Linie in der Ebene einfach ab. Weil die Spirale fünf vollständige Runden macht, müssen Sie den Zylinder fünf volle Umdrehungen rollen. Dies ergibt eine Abrollstrecke, die fünfmal so lang ist wie der Umfang des Zylinders.

Abrolltrick: Aus der dreidimensionalen Spirale wird eine Linie in der Ebene

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Beim Abrollen entsteht eine gerade grüne Linie, welche die Diagonale eines Rechtecks bildet - siehe Zeichnung. Dieses Rechteck hat die Seitenlängen 1x Zylinderlänge und 5x Zylinderumfang - siehe Zeichnung. Mit dem Satz des Pythagoras  (a² + b² = c²) können wir die Länge der grünen Linie leicht ausrechnen. Sie ist die Wurzel aus Zylinderlänge zum Quadrat plus 5 mal Zylinderumfang zum Quadrat.

Länge grüne Linie = Wurzel ( 10*10 + 5*3,14*5*3,14 ) cm

Länge grüne Linie = Wurzel ( 100 + 246,7 ) cm

Länge grüne Linie = Wurzel ( 346,7 ) cm

Das Ergebnis lautet 18,6 cm.

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hda