Rätsel der Woche: So wird der Kuchen geteilt

Gerechtes Aufteilen ist wichtig - ganz besonders, wenn es um leckeren Blechkuchen geht. Die einen mögen die Randstücke, die anderen überhaupt nicht. Wenn beide Gruppen genau gleich groß sein sollen, gibt es nur wenige Möglichkeiten.

Käsekuchen mit Himbeeren: Die einen lieben den Rand, die anderen die Mitte

Foto: Corbis

Die Aufgabe: Sie haben einen großen, rechteckigen Blechkuchen gebacken. Den fertigen Kuchen zerschneiden Sie in gleich große, rechteckige Stücke. Die Hälfte der Leute mag Randstücke, die andere Hälfte aber will auf keinen Fall ein Stück mit Rand abbekommen. Für welche Anzahl von Personen können Sie den Blechkuchen so aufteilen, dass jeder genau ein Stück nach seinen Vorlieben bekommt und keines übrigbleibt?

Blechkuchen: Aufteilung in a senkrechte und b waagerechte Streifen

Foto: SPIEGEL ONLINE

Die Lösung: Wir schneiden den Blechkuchen in a waagerechte und b senkrechte Streifen und erhalten somit a mal b Stücke. Wie viele davon sind Randstücke? Das lässt sich leicht ausrechnen: Es sind a + b + a + b - davon müssen wir aber noch 4 abziehen, weil ansonsten die Eckstücke doppelt gezählt werden. Diese Anzahl der Randstücke muss gemäß der Aufgabe genauso groß sein wie die Hälfte der gesamten Kuchenstückzahl. Aufgeschrieben als Gleichung heißt das:

ab/2 = 2a + 2b - 4

Multiplizieren wir die Gleichung auf beiden Seiten mit 2, sieht das Ganze noch etwas hübscher aus:

ab = 4a + 4b - 8

Wenn wir die Aufgabe lösen wollen, müssen wir also alle Paare natürlicher Zahlen a,b finden, welche diese Gleichung erfüllen. Das ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten - im Allgemeinen ist so etwas nicht lösbar. Weil wir aber nur natürliche Lösungen suchen, ist das Ganze dann aber doch zu knacken.

Eine Variante ist, den Raum der Lösungen einzugrenzen und dann alle darin enthaltenen Zahlen durchzuprobieren. Eine der beiden Zahlen a,b muss größer oder gleich der anderen Zahl sein - und wir nehmen an, dass dies a ist. Schaut man sich die Gleichung genauer an, kann man zeigen, dass sie dann für b>8 keine Lösung haben kann, denn dann ist die linke Seite ab immer größer als die rechte Seite 4a + 4b - 8. Nun probieren wir alle für b in Frage kommenden Zahlen durch (b=3,4,5,6,7,8) und schauen, ob wir ein dazu passendes a finden.

Die andere Variante führt direkt zum Ziel, erfordert allerdings auch etwas mehr Geschick. Wenn ich die Ausdrücke ab, 4a, 4b sehe, fange ich an zu probieren. Kann man das Ganze vielleicht geschickt umformen? Zum Beispiel in Produkte wie (a+4)(b+4) oder (a-4)(b-4)?

Bei unserem Blechkuchenproblem bringt uns der zweite Ausdruck weiter. Es gilt:

(a-4)(b-4) = ab - 4a - 4b + 16

Diese Gleichung stellen wir nach ab um:

ab = (a-4)(b-4) + 4a + 4b - 16

Das sieht jetzt erst einmal nicht sonderlich clever aus. Aber wenn wir die rechte Hälfte der Gleichung in unsere Ausgangsgleichung von oben (ab = 4a + 4b - 8) einsetzen, passiert etwas Wunderbares:

(a-4)(b-4) + 4a + 4b - 16 = 4a + 4b - 8

Links und rechts des Gleichheitszeichens steht der Term 4a + 4b, den können wir von beiden Seiten abziehen und er ist weg. Dann addieren wir 16 und erhalten:

(a-4)(b-4) = 8

Damit ist die Aufgabe so gut wie gelöst, denn links stehen zwei ganze Zahlen und rechts die natürliche Zahl 8. Für 8 existieren, abgesehen von negativen Zahlen, genau zwei Darstellungen als Produkt zweier ganzzahliger Faktoren:

8 = 1 x 8

8 = 2 x 4

Als Lösungspaare erhalten wir damit für a,b (6,8), (8,6), (5,12) und (12,5). Der Kuchen lässt sich also nur dann wie gewünscht teilen, wenn 6x8 = 48 oder 5x12 = 60 Personen anwesend sind.

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