Zahlensinn So fühlt sich eine 100 an

Menschen und Tiere verfügen über einen angeborenen Zahlensinn. Er fußt auf einer logarithmischen Skala. Klingt nach fieser Mathematik? Keine Sorge: Intuitiv machen Sie alles richtig.
Rechenaufgabe in der Schule

Rechenaufgabe in der Schule

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Können Sie im Kopf logarithmieren? Selbst wenn Sie nicht mal genau wissen, was das ist - die Antwort lautet: Ja! Jedes Kindergartenkind beherrscht das Logarithmieren intuitiv, Affen ebenso und sogar Krähen, wie Tübinger Forscher nun in Experimenten nachgewiesen haben .

Dahinter steckt ein fundamentales Erbe der Evolution. Anzahlen von 1 bis 4 können Menschen und Tiere auf einen Blick genau erfassen. Zweifellos eine wichtige Fähigkeit, um schnell zu entscheiden, ob man einer kleinen Gruppe von Angreifern oder Raubtieren schnell aus dem Weg gehen soll oder nicht.

Sobald es aber um Anzahlen größer als 4 geht, schauen wir vor allem auf die Relationen: Sind auf dem rechten Baum mehr Äpfel als auf dem linken? Den Unterschied zwischen 15 und 10 Äpfeln bemerken wir schneller als zwischen 30 und 35 Äpfeln, obwohl die Differenz in beiden Fällen 5 ist.

Anders gesagt: In unserem Kopf liegen die 30 und die 35 näher beieinander als die 10 und die 15 - genau wie auf einer logarithmischen Skala.

Was ist der Logarithmus?

Wer eine Zahl logarithmiert, sucht den Exponenten zu einer bestimmten Basis, etwa zur Basis 10. Dann muss 10 hoch dieser Exponent genau die vorgegebene Zahl ergeben. Ein Beispiel: Der Logarithmus von 100 ist 2, denn 102 ergibt 100. Auf einer logarithmischen Skala sind die Zahlen 10 und 100 genauso weit voneinander entfernt wie 100 und 1000. Denn die Logarithmen der drei Zahlen sind 1, 2 und 3 (101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000).

Das Phänomen der mentalen logarithmischen Skala war bislang nur von Menschen und Affen bekannt, sagt Andreas Nieder von der Universität Tübingen. Nun sei der Nachweis erstmals auch bei Vögeln geglückt.

Verräterische Fehler

Sein Team hatte zwei Aaskrähen beigebracht, Anzahlen zwischen 1 und 30 miteinander zu vergleichen. Zuerst erschien auf dem Touchscreen eine Punktmenge, zum Beispiel 12. Nach einer kurzen Pause zeigte das Display eine zweite Punktmenge an - entweder dieselbe Anzahl oder eine andere. Die Krähen waren so trainiert, dass sie bei gleicher Punktanzahl den Touchscreen berührten und eine Belohnung bekamen.

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Punkte Zählen: Krähen und der Logarithmus

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Aber die Tiere machten immer wieder auch Fehler - und diese Fehler zeigten den Forschern, dass auch die Krähen Anzahlen logarithmisch sortieren. Beispielsweise wurden die Anzahlen 1 und 2 ähnlich selten miteinander verwechselt wie 2 und 4. Bei 20 und 30 war die Fehlerrate hingegen höher.

Die Verarbeitung von Zahlen bei Krähen zu erforschen erfordert raffiniert konzipierte Experimente. Schließlich kann man ihnen weder Dinge erklären, noch können sie uns von ihrer Wahrnehmung berichten. Beim Menschen sind Experimente leichter, weshalb Psychologen unseren Zahlensinn auch schon ziemlich gut verstanden haben.

Da ist zum Beispiel der Distanzeffekt. In Studien wurden Erwachsenen immer wieder zwei unterschiedlich große einstellige Zahlen gezeigt, beispielsweise 3 und 5. Die Probanden sollten dann so schnell wie möglich entscheiden, welche der beiden Ziffern die größere ist, und den entsprechenden Knopf drücken. Dabei wurde ihre Reaktionszeit gemessen.

Zahlenstrahl im Kopf

Bei weit voneinander entfernten Zahlen brauchten die Probanden etwa eine halbe Sekunde für ihre Entscheidung. Sie machten bei Paaren wie 9 und 2 auch kaum Fehler. Ganz anders bei benachbarten Zahlen wie 5 und 6: In diesen Fällen drückten die Testpersonen nicht nur erstaunlich oft den falschen Knopf, sie brauchten im Schnitt auch eine Zehntelsekunde länger als bei Paaren wie 9 und 2.

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Zahlen, Formeln und Vektoren: Wunderwelt der Mathematik

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Unser Gehirn nutzt beim Vergleich zweier Zahlen offenbar keine abgespeicherte Tabelle, in der beispielsweise steht, dass 6 größer als 5 ist. Wäre dies der Fall, würden die Entscheidungszeiten nämlich nicht vom Abstand der Zahlen abhängen.

Der Franzose Stanislas Dehaene brachte als Erklärung schließlich eine Art Zahlenstrahl im Kopf ins Spiel. Diesen muss man sich vorstellen wie ein schon etwas abgegriffenes Maßband eines Schneiders. Um zu entscheiden, ob 9 größer ist als 1, reicht ein kurzer Blick darauf. Bei 5 und 6 muss man schon genauer hinschauen, welche Zahl weiter rechts auf dem Band steht - unter Umständen kann man das auch nicht mehr gut erkennen.

Weber-Fechner-Gesetz

Der Zahlenstrahl in unserem Kopf hat aber eben auch die bereits erwähnte Eigenschaft, nicht linear zu sein. Seine Skala ist vielmehr logarithmisch. Das heißt, der Abstand zwischen 1 und 10 wird als ähnlich groß empfunden wie der zwischen 10 und 100 oder 100 und 1000. Diese verzerrte Wahrnehmung wird auch Weber-Fechner-Gesetz  genannt.

"Die logarithmische Skala ist offenbar die beste Art und Weise, Zahlen mental abzubilden", sagt der Tübinger Forscher Andreas Nieder. Das sei auch sinnvoll: "Kleine Zahlen werden sehr genau abgebildet, große nur relativ ungenau."

Die neuen Experimente hätten gezeigt, dass der mentale Zahlenstrahl auch bei Krähen logarithmisch komprimiert sei. Forscher Nieder geht davon aus, dass die logarithmische Skala Vorteile für die Tiere bietet, etwa beim Abschätzen von Futtermengen oder beim Anblick von Räubern.

Tiere können nicht zählen

Alle Menschen ohne mathematische Ausbildung nutzen intuitiv eine logarithmische Abbildung, zum Beispiel Vorschulkinder oder im Dschungel Südamerikas lebende Völker. Die logarithmische Skala werde erst durch den Mathematikunterricht linearisiert, erklärt Nieder. Das geschehe meist in der zweiten und dritten Klasse.

Doch ganz verschwunden ist die nichtlineare Skala nicht aus unserem Kopf. Experimente von Psychologen zeigen, dass wir den komprimierten Zahlenstrahl nach wir vor nutzen, wenn wir Mengen schnell abschätzen müssen.

"Für ein intuitives Zahlenverständnis hat eine logarithmische Skala zweifellos Vorteile", meint Nieder. Um ernsthaft Mathematik betreiben zu können, benötige der Menschen allerdings ein symbolisches Zahlenverständnis, das man bei Tieren nicht finde. "Wir können echt zählen, Tiere hingegen nicht."

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