Mathematik Große Probleme, schwierige Lösungen, ewiger Ruhm

Für viele ist die Mathematik eine unverständliche Geheimwissenschaft. Nur wenige wissen, dass sie voller Probleme ist, die mitunter seit Jahrhunderten der Lösung harren. Wer sie findet, dem winkt ewiger Ruhm. Der Mathematiker Gerd Faltings hat eines gelöst, aber trotzdem noch viel vor.


Biegt man in der Bonner Innenstadt gleich hinter dem Münsterplatz in die kleine Vivatsgasse ein, fällt der Blick auf die Ruine des alten Sterntors.

Zahlenmengen: Allein dass eine Vermutung lange nicht bewiesen ist, macht sie nicht unbedingt bedeutend
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Zahlenmengen: Allein dass eine Vermutung lange nicht bewiesen ist, macht sie nicht unbedingt bedeutend

Links davon, neben einem Modegeschäft, findet sich der unscheinbare Eingang zum Max-Planck-Institut für Mathematik. Im zweiten Stock dann die Überraschung: Offenbar haben kreative Architekten in die oberen Geschosse des Altbaus ein modernes Institut vom Feinsten eingebaut. Gerd Faltings empfängt mich gut gelaunt in seinem geräumigen Arbeitszimmer. Auf seinem Besuchertisch türmen sich Manuskripte, lächelnd zeigt mir Faltings eine Zusendung über Primzahlen, betitelt "In the Name of God". Nicht nur Redaktionen bekommen solche Schreiben.

Von seinen Fenstern hat der Direktor am Max-Planck-Institut für Mathematik einen hübschen Blick auf das bunte Treiben auf dem Münsterplatz. Ob ihn dieser Blick nicht allzu sehr ablenke? Nein, eigentlich kaum.

Frage: Herr Professor Faltings, vor 25 Jahren - Sie waren gerade 28 - haben Sie die mordellsche Vermutung bewiesen. Die war damals zweifellos ein großes Problem und ihre Lösung ein großer Erfolg.

Gerd Faltings: Ja, dieses Problem hatte mich damals angezogen, weil es wichtig war und ich Methoden gelernt hatte, wie man das angehen kann.

Frage: Mordells Vermutung war schon über 60 Jahre bekannt. Was hat Sie veranlasst, sich auf solch ein Hochrisikoprojekt einzulassen?

Faltings: Ich war schon habilitiert, da kann man etwas riskieren. Und ich hatte den französischen Mathematiker Lucien Spiro kennen gelernt, der hatte dazu neue Ideen. Die haben wohl nicht alle ernst genommen. Ich fand das aber interessant und erwartete eigentlich nicht, dass man damit den Mordell lösen kann. Doch ich sagte mir: Man kann's ja mal probieren. Es kam damals die sogenannte Arakelovtheorie auf. Mir war klar, dass zwar noch etwas fehlte, doch es klappte dann überraschend gut.

Frage: Wie lange haben Sie an dem Beweis gesessen?

Faltings: Etwa zwei Jahre, mit Unterbrechungen. Es war nun nicht so, dass mit so einem Beweis die halbe Mathematik umgekrempelt würde, aber es war schon eine Herausforderung - vielleicht wie der berühmte Mount Everest.

Frage: War Ihr Beweis nützlich für weitere Arbeiten?

Faltings: Ja, ich konnte damit die allgemeine Theorie weiterentwickeln.

Frage: Durch diese Arbeit sind Sie plötzlich zu einem Medienstar geworden.

Faltings: Es war im Sommer 1983 - und da herrschte wohl gerade Saure-Gurken-Zeit, auch so etwas spielt eine Rolle. Ein Jahr später gab es noch mehr Aufregung, als ich dann nach Princeton ging und ein Kollege das der Presse steckte.

Frage: Hat Ihnen die Medienaufmerksamkeit gefallen?

Faltings: Eigentlich nicht. Es ist ja auch schwierig zu erklären, was ich mache. Einiges geht zwar schon, aber das allermeiste ist sehr weit weg vom Alltag.

Frage: Könnten Sie uns für Mordell eine Kostprobe geben?

Faltings: Sicher. Es geht darum, dass gewisse Gleichungssysteme nur endlich viele Lösungen in den rationalen Zahlen haben. Das Standardbeispiel ist die Fermat-Gleichung xn + yn=zn. Mein Beweis dafür besagt: Diese Gleichung hat höchstens endlich viele teilerfremde Lösungen, wenn n mindestens gleich 4 ist. Natürlich ist das heute überholt, da Andrew Wiles 1994 gezeigt hat, dass die Gleichung für n größer als 2 überhaupt keine Lösungen hat.

Mein Satz bleibt aber für andere Gleichungen interessant, beispielsweise für xn + yn=2zn. Dafür gibt es für alle n eine Lösung, nämlich wenn x=y=z=1, und hier funktioniert die Methode von Wiles nicht. Aber mein Beweis liefert dann immerhin noch die Aussage, dass die Gleichung höchstens endlich viele Lösungen hat. Das heißt, mein Satz gilt allgemeiner für mehr und verschiedenartigere Gleichungen, sagt aber in Spezialfällen wie Fermat, wenn man es genauer wissen will, nicht so viel aus.

Frage: Was sind in der Mathematik große Probleme?

Faltings: Große Probleme sind Vermutungen, von denen man annimmt, dass sie zutreffen, die man jedoch nicht hat lösen können - und die interessant sind.

Frage: Allein dass eine Vermutung lange nicht bewiesen ist, macht sie nicht unbedingt bedeutend.

Faltings: Nein, aber es gibt ihr, wie bei Fermat, ein gewisses Flair. Manche finden nur historische Fragen interessant. Ich selbst bin eigentlich kein Liebhaber von Antiquitäten. Wenn ein Problem interessant ist, dann ist es mir egal, ob es zehn oder hundert Jahre alt ist.

Frage: Und was heißt interessant?

Faltings: Das Problem sollte nicht so schwer sein, dass man gar nichts machen, und nicht so leicht, dass man es sofort erledigen kann - also kommt es auf die richtige Schwierigkeit an.

Frage: Ist für Sie die Goldbach-Vermutung, "jede gerade positive Zahl größer als 2 ist gleich der Summe von zwei Primzahlen", ein großes Problem?

Faltings: Goldbach finde ich eigentlich nicht so spannend. Es gibt ja den Einwand: Primzahlen soll man multiplizieren und nicht addieren. Aber das ist ein ästhetischer Vorbehalt. Goldbach ist sicher ein wichtiges Problem, und wenn ich es lösen könnte, würde ich es auch lösen.

Frage: Manche der großen Probleme sind selbst für Laien leicht verständlich, vor allem in der Zahlentheorie, und diese wirken dadurch stark in die Öffentlichkeit. Das zieht oft Amateure an ...

Faltings: ... fürwahr ...

Frage: ... und andere Probleme wirken nur in der Fachwelt, weil sie außerhalb unverständlich sind. Macht das für Sie einen Unterschied?

Faltings: Meistens interessieren mich die fachlichen Probleme mehr, weil ich sie verstehe und sie nicht so speziell sind wie viele der populären. Auch sind von diesen die meisten schon gelöst.

Frage: ... aber nicht Goldbach oder etwa die Vermutung, dass es unendliche viele Primzahlzwillinge gibt.

Faltings: Gut. Die Primzahlzwillinge sind auch eine wichtige Frage, aber daran habe ich nicht gearbeitet.

Frage: Lassen Sie uns über einige große Probleme sprechen, die bereits gelöst wurden. Was ist mit der Aussage über Primzahlen von Terence Tao: "Es gibt endliche, aber beliebig lange arithmetische Folgen von Primzahlen, also mit konstantem Abstand der Primzahlen voneinander. Dafür hat Tao 2006 unter anderem die Fields-Medaille erhalten.

Faltings: Das betrifft die statistische Verteilung von Primzahlen, schon sehr raffiniert. Mich hat dieses Gebiet nie besonders angesprochen, ich vermisse die große Idee dahinter. Man sollte Gebiete aber nicht nach irgendeiner Wertigkeit anordnen, auch mein Interesse kann sich in den nächsten Jahren ändern.

Frage: Im Jahr 1900 hat David Hilbert 23 Probleme vorgestellt, von denen die meisten heute gelöst sind. Im Jahr 2000 hat die amerikanische Clay Foundation etwas Ähnliches versucht und neue Probleme aufgeführt, für deren Lösung je eine Million Dollar Preisgeld winken. Was halten Sie von der Clay-Liste, die auch in unserer Spektrum-Serie eine Rolle spielt?

Faltings: Ich würde zustimmen, dass dies alles bedeutende, anerkannte Probleme sind. Das Preisgeld ist eigentlich Werbung für Öffentlichkeit. Wenn ich etwa die riemannsche Vermutung lösen könnte, dann wäre mir das Preisgeld aber egal. Eine Million Dollar haben viele, aber so etwas lösen, das können nur ganz wenige. Die Clay Foundation unterstützt jedoch viel mathematische Forschung, darum sehe ich ihnen diese Art der Werbung gerne nach.

Frage: Ein anderes gelöstes Problem: das Vierfarbenproblem, also die 1852 erstmals gestellte Frage: Reichen vier Farben immer aus, um eine beliebige Landkarte in der Ebene so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen? Bewiesen wurde das 1977, zuletzt mit Hilfe eines Computers.

Faltings: Ja, um diese Computerhilfe gab es Debatten. Mathematisch war das vielleicht nicht ein ganz großes Problem, aber sicher eine wichtige Frage in diesem Gebiet. Es war übrigens Heinrich Heesch, der in jahrelanger Vorarbeit die Strategie entwarf, mit der man später den Beweis per Computer finden konnte. Damit reduzierten sich die problematischen Fälle auf endlich viele, die dann wieder vom Rechner überprüft werden konnten.

Frage: Was halten Sie von Computern bei mathematischen Beweisen, für Puristen gilt das ja noch immer als Tabu?

Faltings: Für mich ist das kein Tabu. Wenn Sie einen Beweis von 10.000 Seiten geschickt bekommen, der nur von Menschenhand stammt - darin können genauso viele Fehler verborgen sein wie in einem Computerprogramm.

Frage: Kommen wir zur fermatschen Vermutung, heute auch Satz von Fermat-Wiles genannt. Sie hatten doch auch damit zu tun.

Faltings: Für die Öffentlichkeit war Fermat zweifellos das größte Rätsel der Mathematik. Aber auch innermathematisch war der Beweis fruchtbar, denn es wurde ja, übrigens von dem deutschen Mathematiker Gerhard Frey und dann von dem Amerikaner Ken Ribet, eine überraschende Querbeziehung von Fermat zu den so genannten elliptischen Kurven hergestellt. Mit diesen Ideen konnte Wiles arbeiten, und er hat es dann überraschend, mit gewissen Startschwierigkeiten, nach etwa sieben Jahren in völliger Geheimhaltung hingekriegt.

Frage: Wussten denn auch Sie nicht, woran Wiles damals arbeitete?

Faltings: Nein.

Frage: Es gab in dem Beweis zunächst einen Fehler.

Faltings: Ja, den hatten die Gutachter bei der Fachzeitschrift "Inventiones mathematicae" im Sommer 1993 entdeckt. Zuerst blieb das geheim, bis es nach einigem Rumoren im Herbst 1993 zum öffentlichen Eingeständnis dieses Fehlers kam. Zusammen mit seinem Studenten Richard Taylor konnte Wiles ihn dann im Oktober 1994 beheben. Auch das kam, nach der ursprünglichen Sensation, für alle überraschend, weil solche Sachen meistens nicht funktionieren.

Frage: Sie hatten doch damit zu tun.

Faltings: Ja, im Oktober 1994 hat Andrew Wiles den korrigierten Beweis an mich geschickt mit der Bitte, ihn durchzusehen. Ich fand dann den Beweis in Ordnung. Eigentlich sollte er noch anderen gezeigt werden, aber das Ergebnis ging dann direkt so an die Öffentlichkeit.

Frage: War das nicht mehr Arbeit als für ein übliches Gutachten?

Faltings: Durch Wiles’ erste Ankündigung hatte ich mich damit schon beschäftigt und deshalb für eine Sommerakademie der Studienstiftung 1993 das Thema "elliptische Kurven" gewählt. Der Beweis kam dann zwar wie gesagt nicht, aber daher war ich trotzdem schon eingearbeitet.

Frage: Wie prüft man so einen Beweis?

Faltings: Wenn man einmal die Idee hat, dann überlegt man selbst, ob sie auch tragfähig ist.



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