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04. Februar 2015, 11:02 Uhr

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Mathematiker erklären Muster von Fingerabdrücken

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Wo Muster auftauchen, sind Mathematiker nicht weit. Jetzt haben sie sich Fingerabdrücke vorgenommen und am Computer simuliert, wie das Labyrinth aus Rillen entsteht.

Ganz gleich, ob es ums Fell von Raubkatzen, die Fliesen der Alhambra oder Ausschläge von Aktienkursen geht - überall suchen Mathematiker nach Strukturen, die sie mit Gleichungen erklären können. Nun haben sie mit einer relativ einfachen Gleichung am Computer simuliert, wie das Labyrinth aus Rillen in unseren Fingerabdrücken funktioniert.

Auch die charakteristischen Falten auf der Oberfläche von Rosinen könne man damit berechnen, schreiben der Mathematiker Jörn Dunkel und seine Kollegen vom Massachusetts Institute of Technology (MIT) im Fachblatt "Nature Materials". Dunkel hat in Berlin studiert und in Augsburg promoviert.

Wenn eine Weintraube langsam trocknet, schrumpft sie und auf ihrer Oberfläche bilden sich immer mehr Falten. Ganz ähnlich ist es bei den Fingerabdrücken: Beim wenige Wochen alten Embryo wachsen Gewebepolster an den Händen. Diese Schwellungen gehen dann aber zurück und die typischen, einzigartigen Rillen formen sich.

Muster hängt von Wölbung ab

Dunkel und seine Kollegen haben die Faltenbildung mit einer vereinfachten Form der sogenannten Swift-Hohenberg-Gleichung modelliert. Diese beschreibt das physikalische Verhalten zweilagiger, gewölbter Materialien. Die äußere Schicht ist dabei fester als die darunterliegende - so wie auch bei menschlicher Haut.

Wenn der Druck außen höher ist als innen, gerät das Material unter Stress - erste kleine, nach innen gerichtete Beulen entstehen. Das Aussehen dieser Beulen hänge von der Krümmung des Materials ab, schreiben Dunkel und seine Kollegen: Bei starker Wölbung bildeten sich regelmäßig verteilte, an Sechsecke erinnernde Beulen.

Ist die Krümmung hingegen gering, ziehen sich längere, labyrinthartige, Falten über die Oberfläche. Eine Struktur, die Fingerabdrücken ähnelt. Im Falle mittlerer Wölbung gibt es einen Hybridzustand aus Sechsecken und Labyrinthen. Computergrafiken der MIT-Forscher zeigen die auch aus ästhetischer Sicht spannenden Ergebnisse der Modellrechnungen - siehe Fotostrecke oben.

"Das ist ein kompliziertes System", sagt Jörn Dunkel über die Modellrechnungen. "Aber da scheint etwas Grundlegendes zu passieren, denn wir sehen ähnliche Muster über einen großen Skalenbereich", also sowohl in mikroskopischen Welten wie auch auf vergleichsweise großen Fingern.

Das entwickelte Modell geht auf Experimente von Pedro Reis zurück, einer der Mitautoren der Studie. Der Ingenieur hatte bei kleinen Bällen aus zweischichtigem Kunststoff den Innendruck verringert, so dass die Oberfläche Falten bekam. Zunächst bildeten sich sechseckige Beulen aus. Bei starkem Druck oder geringer Krümmung beobachtete Reis aber auch jene labyrinthartigen Muster, die nun Ergebnis der Computersimulationen sind. "Bisherige Theorien konnten nicht erklären, warum so unterschiedliche Muster entstehen", sagt Reis. Nun habe man ein Modell, das funktioniere.

Muster können ganz verschiedene Ursachen haben und neben Druckunterschieden auf Oberflächen auch Ergebnis von Wachstumsprozessen sein, wie sie beispielsweise der Tübinger Max-Planck-Forscher Hans Meinhardt schon in den Siebzigerjahren simuliert hat. Seine Gleichungen können unter anderem die faszinierenden Muster auf Schneckengehäusen nachbilden.

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