Numerator Apfelmännchen erobert die dritte Dimension

Der Fraktal-Hype liegt schon 20 Jahre zurück, doch Mathematikern lässt das Thema keine Ruhe. Jetzt erlaubt ein britischer Programmierer faszinierende Einblicke in eine seltsam vertraute Kunstwelt, die das Apfelmännchen in die dritte Dimension bringt.
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Bizarre Welten: Mandelbrot in 3D

Foto: Daniel White

Was waren das für Zeiten! Anfang der neunziger Jahre saß ich vor einem 386er-PC mit Farbmonitor und schaute dem Programm Fractint  bei der Arbeit zu. Zeile für Zeile rechnete das Programm die Farbe der Bildpunkte aus - und nach wenigen Minuten war das Apfelmännchen  in knallig bunten Farben fertig. Wollte man in die sogenannte Mandelbrot-Menge hineinzoomen, dann dauerte die Berechnung wieder ein paar Minuten.

Im Angesicht des Apfelmännchens mussten sogar Rechenmuffel einräumen, dass Mathematik einiges mit Kunst und Ästhetik zu tun hat. Die Suche nach Schönheit, die auf Gleichungen beruht, treibt bis heute Menschen an und lässt sie nach neuen Formeln suchen. Daniel White, ein 32-jähriger Programmierer aus Bedford in England, ist einer von ihnen. Schon seit mehreren Jahren versucht er, das Apfelmännchen in die dritte Dimension zu übertragen - und jetzt ist ihm das zumindest in Ansätzen gelungen.

Auf der Website Skytopia  präsentiert er die faszinierenden Aufnahmen des Objekts, das er Biest und auch Mandelknolle nennt - eine Reverenz an den Mathematiker Benoît Mandelbrot, Autor des Bestsellers "Die fraktale Geometrie der Natur" . Die Knolle erinnert entfernt an Brokkoli, Nahaufnahmen zeigen organisch wirkende Strukturen, die an manchen Stellen aussehen, als hätte man sie wie Kaugummi auseinander gezogen. Meist sind die Strukturen hochfiligran, doch es gibt auch geradezu profan wirkende Bereiche, die aussehen wie ein Stück Vanilleeis.

"Manche sagten, das geht nicht"

Schon seit längerem haben Mathematiker versucht, die berühmte Mandelbrot-Menge in die dritte Dimension zu bringen. Den Anfang machte vor 20 Jahren der US-Amerikaner Rudy Rucker, Autor diverser Science-Fiction-Romane. In Internetforen wie fractalforums.com  wurden verschiedene Ansätze diskutiert und Hunderte Grafiken hochgeladen. Daniel Whites Mandelknolle gehört ohne Zweifel zu den gelungensten Arbeiten.

Dabei war anfangs sogar unklar, ob überhaupt so etwas wie eine dreidimensionale Mandelbrot-Menge existiert. "Manche sagten, das geht nicht", schreibt White auf seiner Website. Tatsächlich gebe es keine 3D-Version der komplexen Zahlenebene, in der die Mandelbrot-Menge liegt. Das Ganze könne enden wie die Suche nach dem Monster von Loch Ness, schwante dem Programmierer.

Warum ist der Sprung in die dritte Dimension überhaupt so schwierig? Die Mandelbrot-Menge ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Diese haben die Form a + b*i, wobei a die reale Komponente und b*i die imaginäre Komponente ist. Dabei sind a und b reelle Zahlen und i ist die Quadratwurzel aus -1 (i2 = -1).

Chaos in der Ebene komplexer Zahlen

Ob eine komplexe Zahl c zur Mandelbrot-Menge gehört oder nicht, entscheidet sich bei einer Rekursion, also der wiederholten Berechnung mit einer Formel, in die immer wieder das Ergebnis der vorherigen Berechnung eingesetzt wird. Die Zahl c gehört zur gesuchten Menge, wenn die Folge mit der Bildungsregel

zn+1 = zn 2 + c

nicht divergiert, also die Werte nicht Richtung unendlich laufen. Ist dies der Fall, dann wird der Punkt der Zahl c in der komplexen Zahlenebene schwarz gezeichnet. Die x-Achse repräsentiert dabei den Realteil der Zahl c, die y-Achse den imaginären Teil. Auf diese Weise entsteht das bekannte Apfelmännchen, das immer feinere Strukturen aufweist, je genauer man rechnet.

Auch wenn man sofort an Selbstähnlichkeit denkt, ist die die Mandelbrot-Menge kein Fraktal im engeren Sinn, denn ihre Strukturen wiederholen sich nicht auf identische Weise wie etwa bei der Koch-Kurve  oder dem Sierpinski-Dreieck .

Um in drei Dimensionen rechnen zu können, nutzte White sogenannte Kugelkoordinaten, die jeden Punkt durch zwei Winkel und einen Radius definieren. Mit diesen Koordinaten führte Whites Software dann immer wieder aufs Neue jene Berechnungen durch, die auch bei der Mandelbrot-Menge in zwei Dimensionen zum Einsatz kommen (näheres zur Rechenmethode finden Sie hier ). Wie beim Apfelmännchen auch gehört ein Punkt dann zur 3-D-Mandelbrot-Menge, wenn er trotz vielfacher Iteration nicht vom Nullpunkt des Koordinatensystems wegwandert.

Die ersten Ergebnisse waren allerdings ernüchternd: Von einer Ähnlichkeit zum Apfelmännchen keine Spur, auch Änderungen am sphärischen Koordinatensystem brachten keine Besserung. Schließlich probierte es White einfach mit höheren Potenzen in der Formel - eine Idee, die der Mathematiker Paul Nylander hatte. Statt bei der Iteration die Zahlen zu quadrieren, nahm er ihre achte Potenz - eine Methode, die gelegentlich auch in zwei Dimensionen angewandt wird.

Am wichtigsten sind die Schatten

Jetzt sahen die Strukturen schon vielversprechend aus - aber es fehlte noch eine passende Software, die das 3-D-Objekt im richtigen Licht inklusive Schatten erscheinen ließ. Diese musste White selbst programmieren, weil er nichts passendes fand. Er positionierte virtuelle Scheinwerfer im dreidimensionalen Raum und ließ das Licht per Software auf das dreidimensionale Mandelbrot-Gebilde wirken. "Erst die Schatten machten die Feinheiten sichtbar", sagt White. Die Berechnung in achter Potenz habe sich in Bezug auf Details und Schönheit als gute Wahl herausgestellt.

Auch wenn die Kunstwelt der Mandelknolle fasziniert - eine perfekte dreidimensionale Mandelbrot-Menge ist sie noch nicht. Das weiß der Engländer spätestens, seit er sein Biest genauer unter die Lupe genommen hat. "Eiskrem von Neptun" hat White jenen Bereich genannt, in dem plötzlich glatte, ebene Strukturen auftauchen - siehe Fotostrecke.

"Wir warten immer noch auf die Mandelknolle", schreibt der US-Mathematiker Rudy Rucker in seinem Blog . Die Suche nach der perfekten 3-D-Mandelbrot-Menge geht weiter.

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