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Pizza-Problem: Kreise neu kacheln

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Geometrie Pizza schneiden für Fortgeschrittene

Durch den Mittelpunkt halbieren, dritteln oder vierteln: So kann ja jeder eine runde Pizza teilen. Zwei Mathematiker aus Liverpool haben andere, überraschende Lösungen gefunden.

Es ist der Klassiker beim Kindergeburtstag. Die duftende, kreisrunde Pizza kommt aus dem Ofen und der Hunger ist groß. Beim Schneiden gerät ein Stück etwas größer als die anderen. Und das Gemecker beginnt: "Voll ungerecht! Das ist ja viel größer!"

Klar, mit Winkelmesser und Lineal wäre das nicht passiert. Aber wer will das Pizzaschneiden schon zu einer Lehrstunde im Fach Geometrie machen?

Das käme nicht mal Mathematikern in den Sinn - glaubt man. Tatsächlich aber haben Joel Anthony Haddley und Stephen Worsley von der University of Liverpool sogar gezielt nach völlig neuen Möglichkeiten gefahndet, eine Pizza in gleich große und gleich geformte Stücke zu schneiden. Bei der herkömmlichen Aufteilung gehen alle Schnitte durch den Kreismittelpunkt, aber es gibt auch ganz andere, überraschende Lösungen.

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In ihrer vorab auf Arxiv.org publizierten Arbeit  zeigen die beiden Mathematiker das Pizzaschneiden für Fortgeschrittene. Manche der vorgestellten Kreiszerlegungen waren schon bekannt - andere hingegen sind offenbar neu.

Solche Zerlegungen bezeichnen Mathematiker übrigens als Parkettierung oder Kachelung. Eine Fläche muss dabei von gleichförmigen Kacheln ohne Lücken und Überlappungen bedeckt sein. Im Fall der Pizza lautet das Ziel natürlich, dass alle Kacheln gleich geformt und gleich groß sind - also kongruent. Sie müssen sich also durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung ineinander überführen lassen.

So ist es möglich, eine Pizza in zwölf kongruente Stücke zu schneiden, von denen nur sechs den Kreismittelpunkt berühren - siehe folgende Abbildung. Das Besondere an dieser Zerlegung ist, dass sämtliche Ränder der zwölf Stücke Kreisbögen sind. Das wäre wohl selbst für einen Pizzaschneide-Profi eine echte Herausforderung!

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Es gibt noch viele Varianten mehr davon - zwei zeigt das folgende Bild. Die neuen Kachelungen entstehen, wenn man die sechs dreieckigen Ausgangsstücke nicht halbiert, sondern drittelt, viertelt und so weiter. So ergeben sich unendlich viele, freilich mit einer Pizza in der Praxis kaum umsetzbare Varianten - sämtlich aus Kacheln, deren Kanten Kreisbögen sind.

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Es gibt auch Lösungen, bei denen mindestens eine Kante der Pizzastücke nicht gebogen, sondern gerade geschnitten ist. Eine solche Kachelung eines Kreises nutzen Mathematiker der Penn State University übrigens als Logo  für ein Programm ihrer Fakultät. Ausgangspunkt sind auch hier sechs sogenannte Kreisbogen-Dreiecke. Eines davon ist in der folgenden Abbildung grün eingefärbt:

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Anstatt dieses Kreisbogen-Dreieck mit einem weiteren Kreisbogen in zwei identische Stücke zu zerlegen, wird es entlang der Symmetrieachse halbiert. Ergebnis sind die blaue und die grüne Fläche rechts, von denen die eine die Spiegelung der anderen ist.

Wie viele weitere derartige Lösungen mit mindestens einer geraden Kante gibt es? Das haben sich Joel Anthony Haddley und Stephen Worsley gefragt. "Ich interessiere mich für geometrische Puzzle", sagt Haddley. "So bin ich auf diese Fragestellung gestoßen." In ihrem Papier präsentieren die beiden Mathematiker zwei verschiedene, nach ihrer Aussage neue Lösungsansätze - blättern Sie im Slider, um sie zu sehen:

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Kreis-Kachelung: Kurvige und gerade Schnitte

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Mit beiden Ansätzen lassen sich ähnlich wie bei der allein auf Kreisbögen beruhenden Kachelung oben unendlich viele Aufteilungen verwirklichen. Bei der zweiten Variante entstehen Pizzastücke mit spitzen Zacken.

"Soweit wir wissen, waren diese Lösungen bislang nicht bekannt", sagt Worsley. Auf der Webseite Geogebra.org  haben die beiden Mathematiker ein interaktives Tool erstellt, mit dem sich die zackigen Lösungen spielerisch erkunden lassen.

Praktische Anwendungen der neuen Kreiskachelungen sind bislang nicht bekannt. "Ich denke, das fällt eher in die Kategorie Spaß-Mathematik", räumt Worsley ein. Das Thema habe er nebenher bearbeitet, während seiner Doktorarbeit. Die Unterscheidung zwischen Spaß und einem ernsthaften mathematischen Problem sei aber eigentlich nebensächlich, meint der Forscher. "Fragestellung und Lösung sind selbst für Laien gut zu verstehen, und das macht die Ergebnisse interessant, finde ich."

Zwei allgemeinere und sicher auch deutlich schwierigere Fragen können die Mathematiker aus Liverpool bislang nicht beantworten: Welche Lösungen sind noch möglich? Und lässt sich beweisen, dass es keine weiteren Zerlegungen des Kreises gibt? "Wenn da jemand eine Lösung findet", sagt Worsley, "hilft uns das vielleicht auch, andere Kachelungsprobleme besser zu verstehen."

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