Rätsel der Woche Quadrate gesucht

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Von und (Grafik)

2. Teil: Hier geht es zur Lösung


Es existieren zwei Lösungen, wobei bei der zweiten Lösung die Zahlen der ersten Lösung in umgekehrter Reihenfolge angeordnet sind:

8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16

16 9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8

Wie findet man diese beiden Lösungen? Und warum gibt es keine weiteren? Wir schauen uns für jede der Zahlen von 1 bis 16 einzeln an, welche Zahlen neben ihnen stehen dürfen. Bei einer 2 kommen zum Beispiel nur die 7 und die 14 infrage - nur mit diesen beiden Nachbarzahlen ergibt sich beim Addieren jeweils eine Quadratzahl: 2+7=9 und 2+14=16.

Folgende Übersicht zeigt die möglichen Nachbarn für alle 16 Zahlen:

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Zwölf Zahlen haben zwei mögliche Nachbarzahlen, zwei haben drei - die 1 und die 3. Und zwei haben nur einen einzigen potenziellen Partner: die 8 und die 16. Diese beiden Zahlen müssen deshalb am linken und rechten Rand der Reihe stehen.

Deshalb sind nur zwei verschiedene Anfänge und Enden von Reihen möglich. Entweder beginnen sie mit der Zahl 8 und enden mit der 16, oder sie beginnen mit 16 und enden mit 8.

Die übrigen Zahlen sind zwischen den beiden Randzahlen platziert, für sie gibt es jeweils mindestens zwei Partner und damit einen rechten und linken Nachbarn.

Die beiden Lösungen finden wir dann, indem wir alle in Frage kommenden Reihen systematisch ausprobieren. Dabei zeigt sich, dass die Zahlen 1 und 3 keine Nachbarn in der Reihe sein dürfen, weil ansonsten nicht alle 16 Zahlen in der Reihe Platz finden.

Hinweis: In der ursprünglichen Lösung fehlte der Verweis auf die möglichen Partner 1 und 3. Dieser wurde ergänzt - an den beiden Lösungen ändert das jedoch nichts, weil Reihen mit 1 und 3 als benachbarte Zahlen keine Lösungen bilden.

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Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - das sind die vergangenen zehn:



insgesamt 50 Beiträge
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betonklotz 05.01.2019
1. ZweiLösungen
Einmal 16,9,7,2,14,11,5,4,12,13,3,6,10,15,1,8 und dasselbe nochmal in umgedrehter Reihenfolge. Die Lösung ergibt sich ausgehend von der Erkenntnis, daß die 16 nur ganz am Anfang oder am Ende des Tupels stehen kann, da 16 + 9 =25 die einzige Möglichkeit ist, mit der 16 unter Verwendung der übrigen gegebenen Zahlen eine Quadratzahl zu bilden.
phm_271828 05.01.2019
2. Lösung richtig - Begründung falsch
In der Lösung wird behauptet, dass - ausser 16 und 8 - jede Zahl genau zwei potenzielle Nachbarn hat. Das ist nicht richtig: 1 hat die potenziellen Nachbarn 3 und 8 und 15, 3 hat die potenziellen Nachbarn 1 und 6 und 13. Diese führen allerdings nicht zu weiteren Lösungen.
norbert_le_sax 05.01.2019
3. gibt mehr
So denn nur die Bedingung erfuellt sein muss, dass zwei aufeinanderfolgende ein Quadrat ergeben muessen, dann geht auch 1+15; 2+14; 3+13; 4+12; 5+11; 6+10; 7+9; 8+8; 9+16. Es sei denn, neueste Forschungen haben ergeben, dass die 16 keine Quadratzahl mehr ist
Paukalor 05.01.2019
4. Ein kleiner Fehler in der Lösung...
... die aber das Ergebnis nicht beeinflusst: 1 und 3 haben narürlich noch jeweils eine dritte Zahl, die zur Quadratzahl 4 führt, die in der Lösung einfach unterschlagen wird. Nettes Zahlenrätsel :-)
Jan Frauholz 05.01.2019
5.
Alle Quadratzahlen bis zur maximalen Summe von 31 (=16+15) lauten: 1,4,9,16,25. Durch Kombination und ein wenig Ausprobieren gelangt man schließlich recht einfach zur Lösung.
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