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05. Januar 2019, 09:57 Uhr

Rätsel der Woche

Quadrate gesucht

Von und (Grafik)

Können Sie die Zahlen von 1 bis 16 so hintereinander schreiben, dass benachbarte Zahlen sich immer zu einer Quadratzahl zusammenfügen?

In der vergangenen Woche durften Sie beim Spieleklassiker Reversi Ihr Glück probieren und Steinchen umdrehen. Im neuen Rätsel geht es um ein klassisches Problem mit natürlichen Zahlen.

Gegeben sind die Zahlen von 1 bis 16. Sie sollen diese 16 Zahlen so in einer Reihe anordnen, dass die Summe von zwei benachbarten Zahlen stets eine Quadratzahl ist.

Wenn beispielsweise neben einer 1 eine 8 steht, dann ist diese Bedingung erfüllt, denn 1+8 ergibt 9 - das Quadrat von 3. Die Zahlen 1 und 7 dürften hingegen nicht aufeinanderfolgen, weil ihre Summe 8 und damit keine Quadratzahl ist.

Gibt es eine Lösung für diese Aufgabe? Oder sogar mehr als eine?

Hier geht es zur Lösung

Es existieren zwei Lösungen, wobei bei der zweiten Lösung die Zahlen der ersten Lösung in umgekehrter Reihenfolge angeordnet sind:

8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16

16 9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8

Wie findet man diese beiden Lösungen? Und warum gibt es keine weiteren? Wir schauen uns für jede der Zahlen von 1 bis 16 einzeln an, welche Zahlen neben ihnen stehen dürfen. Bei einer 2 kommen zum Beispiel nur die 7 und die 14 infrage - nur mit diesen beiden Nachbarzahlen ergibt sich beim Addieren jeweils eine Quadratzahl: 2+7=9 und 2+14=16.

Folgende Übersicht zeigt die möglichen Nachbarn für alle 16 Zahlen:

Zwölf Zahlen haben zwei mögliche Nachbarzahlen, zwei haben drei - die 1 und die 3. Und zwei haben nur einen einzigen potenziellen Partner: die 8 und die 16. Diese beiden Zahlen müssen deshalb am linken und rechten Rand der Reihe stehen.

Deshalb sind nur zwei verschiedene Anfänge und Enden von Reihen möglich. Entweder beginnen sie mit der Zahl 8 und enden mit der 16, oder sie beginnen mit 16 und enden mit 8.

Die übrigen Zahlen sind zwischen den beiden Randzahlen platziert, für sie gibt es jeweils mindestens zwei Partner und damit einen rechten und linken Nachbarn.

Die beiden Lösungen finden wir dann, indem wir alle in Frage kommenden Reihen systematisch ausprobieren. Dabei zeigt sich, dass die Zahlen 1 und 3 keine Nachbarn in der Reihe sein dürfen, weil ansonsten nicht alle 16 Zahlen in der Reihe Platz finden.

Hinweis: In der ursprünglichen Lösung fehlte der Verweis auf die möglichen Partner 1 und 3. Dieser wurde ergänzt - an den beiden Lösungen ändert das jedoch nichts, weil Reihen mit 1 und 3 als benachbarte Zahlen keine Lösungen bilden.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - das sind die vergangenen zehn:

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