Rätsel der Woche 50 Uhren und ein Tisch

Jetzt wird's verrückt: Auf einem Tisch liegen 50 Uhren - und Sie sollen schauen, wie weit die Spitzen aller großen Zeiger vom Tischmittelpunkt entfernt sind. Das geht ganz ohne komplizierte Rechnerei.
Uhr mit Zeigern: Wie groß ist der Abstand der Zeigerspitze zum Tischmittelpunkt

Uhr mit Zeigern: Wie groß ist der Abstand der Zeigerspitze zum Tischmittelpunkt

Foto: Holger Dambeck

Das Rätsel dieser Woche stammt von einer Mathematikolympiade aus der einstigen Sowjetunion. Bei solchen Wettbewerben findet man öfters Aufgaben, die auf den ersten Blick kaum lösbar erscheinen, für die dann aber doch eine verblüffend einfache Lösung existiert. Die Schwierigkeit besteht darin, diesen simplen Weg zu finden. Entdeckt habe ich das Rätsel übrigens in einem Buch des US-Mathematikers Peter Winkler .

Auf einem Tisch liegen 50 Uhren. Sie sind gleich getaktet. Die Uhren sind unterschiedlich groß und zufällig über den Tisch verteilt. Auch die Ziffernblätter sollen vollkommen zufällig ausgerichtet sein.

Beweisen Sie, dass es innerhalb einer Stunde einen Moment gibt, in dem die Summe der Abstände vom Tischmittelpunkt zu den Spitzen der 50 Minutenzeiger größer ist als die Summe der Entfernungen vom Tischmittelpunkt zu den Mittelpunkten der Uhren.

Hier geht es zur Lösung

Es gibt mehrere Lösungen für das Uhrenproblem. Peter Winkler schlägt eine Herangehensweise vor, bei der man weder mit Kosinusfunktionen hantieren noch sonstwie rechnen muss. Schauen wir uns eine einzelne Uhr genauer an:

Foto: SPIEGEL ONLINE

M soll der Tischmittelpunkt sein. Dann ist a der Abstand zwischen Tischmittelpunkt und Uhrmitte und z der Abstand zwischen der Zeigerspitze und dem Tischmittelpunkt. Mit b bezeichnen wir den Abstand der Zeigerspitze zur Linie, die senkrecht zu a durch den Tischmittelpunkt M verläuft.

Wir sehen, dass der Mittelwert von b, berechnet über eine volle Stunde, genau dem Abstand a entspricht. Zugleich ist klar, dass z bis auf zwei einzelne Zeigerpositionen immer größer ist als b. Daraus folgt, dass der mittlere Abstand der Zeigerspitze z - berechnet über den Zeitraum von 60 Minuten - größer ist als a.

Diese Aussage gilt für alle 50 Uhren. Also ist auch die Summe der mittleren Abstände der Zeigerspitzen z aller Uhren größer als die Summe der Abstände der Uhrmittelpunkte a. Und das ist nur möglich, wenn es im Laufe von 60 Minuten mindestens einen Moment gibt, in dem die Summe aller z größer ist als die Summe aller a.

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