Rätsel der Woche Wasser im Wein

In einem Glas befindet sich Wein, im anderen die gleiche Menge Wasser. Sie schütten etwas Wein ins Wasser und danach dieselbe Menge Wein-Wasser-Gemisch zurück in den Wein. Ist dann mehr Wein im Wasser oder mehr Wasser im Wein?
Wasser und Wein: Wie groß sind die Anteile nach dem Mixen?

Wasser und Wein: Wie groß sind die Anteile nach dem Mixen?

Foto: Holger Dambeck

Das Wasser-Wein-Problem gehört zu den Rätselklassikern. Kurios daran ist, dass man sich ziemlich schnell in komplizierten Berechnungen verlieren kann. Dabei gibt es eine Lösung, die ganz ohne Berücksichtigung von Mischungsverhältnissen und Volumina auskommt.

Mehrere Leser haben das Rätsel vorgeschlagen - es ist auch schon in einem Mathequiz auf SPIEGEL ONLINE aufgetaucht. Weil die Aufgabe so schön ist - und schnell mal einen Knoten im Hirn produziert, ist sie unser Rätsel dieser Woche:

Auf dem Tisch stehen zwei identisch große Gläser. Eines ist mit Wein gefüllt, in dem anderen befindet sich exakt das gleiche Volumen Wasser. Nun schütten Sie etwas Wein in das Wasserglas und rühren die Mischung gut um. Anschließend kippen Sie vom Wein-Wasser-Gemisch so viel zurück ins Weinglas, dass beide Gläser wieder genau gleich voll sind.

Nun die Frage: Ist dann mehr Wein im Wasser oder mehr Wasser im Wein? Oder sind die Anteile vielleicht gleich groß?

Noch zwei Hinweise: Wir gehen davon aus, dass beim Umrühren keine Flüssigkeit verloren geht - etwa weil sie am Löffel haftet. Außerdem ignorieren wir, dass Wein neben Alkohol größtenteils aus Wasser besteht. Wir betrachten den Wein vielmehr als eine eigenständige Flüssigkeit, die die gleichen chemischen Eigenschaften wie Wasser hat und sich problemlos mit Wasser mischen lässt.

Sie können sich die Aufgabe auch folgendermaßen vorstellen: In einem Glas befinden sich weiße Sandkörner, im anderen schwarze. Sie mixen die Inhalte beider Gläser dann wie oben beschrieben. Sind dann mehr weiße Sandkörner im Glas mit den schwarzen oder mehr schwarze im Glas mit den weißen Körnern?

Hier geht es zur Lösung.

Es befindet sich genauso viel Wein im Wasserglas wie Wasser im Weinglas!

Der Beweis dafür ist denkbar einfach. Wir wissen, dass sich nach den beiden Mixprozeduren eine bestimmte Menge Wein im Wasserglas befindet. Dieses Volumen Wein fehlt dann zwingend im Weinglas. Weil beide Gläser nach dem Hin- und Herkippen aber weiterhin identisch befüllt sind, muss das im Weinglas fehlende Weinvolumen durch ein exakt gleich großes Wasservolumen ersetzt worden sein. Daher sind die Anteile von Wein und Wasser in den beiden Gläsern gleich groß.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - das sind die Links:

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