Rätsel der Woche Ringen mit Potenzen

Zwei Kopfrechenkünstler spielen mit den Zahlen 3 und 7. Einer will alle Potenzen von 3 hoch 1 bis 3 hoch 100 addieren, der andere macht das gleiche mit Potenzen von 7. Welche der beiden Summen ist durch 10 teilbar?

Reiskörner auf Schachbrett: Von Feld zu Feld verdoppeln
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Reiskörner auf Schachbrett: Von Feld zu Feld verdoppeln

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Wenn man Zahlen potenziert, entstehen schnell gigantische Monster. Das wohl berühmteste Beispiel dafür ist die Legende von den Reiskörnern auf dem Schachbrett. Ein persischer König soll dem Erfinder des Schachspiels einst eine Belohnung versprochen haben.

Der weise Erfinder wünschte sich Reiskörner auf dem Schachbrett: auf dem ersten Feld eins, auf dem zweiten zwei, auf dem dritten vier - die Zahl der Körner sollte sich also von Feld zu Feld verdoppeln.

Der König wunderte sich über den bescheidenen Wunsch und wollte ihn erfüllen. Doch schließlich musste er feststellen, dass das unmöglich war, denn es ging um 18 Trillionen Körner, eine zwanzigstellige Zahl!

Im heutigen Rätsel geht es um noch viel größere Zahlenmonster. Zwei Kopfrechenkünstler spielen mit den Zahlen 3 und 7. Der eine versucht, hundert Potenzen von 3 zu addieren:

31 + 32 + 33 + … + 399 + 3100

Der andere macht das Gleiche mit Potenzen von 7:

71 + 72 + 73 + … + 799 + 7100

Dann sagt der erste: "Ich bin noch nicht ganz durch, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass meine Summe der Dreierpotenzen durch 10 teilbar ist."

Darauf entgegnet der zweite: "Mmh, komisch. Ich glaube, meine Summe der Siebenerpotenzen ist auch durch 10 teilbar."

Wer hat Recht?



insgesamt 27 Beiträge
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frenchhorn_69 29.11.2015
1. Es gibt eine sehr viel
Einfacherer Lösung. Egal welche natürliche Zahl man nimmt, ist es immer durch 10 teilbar! Alle Potenzen einer natürlichen Zahl von der ersten bis zu 100. Potenz zu addieren ist gleichbedeutend mit der 5050 (=101x50) (leitet sich her aus (1+100+2+99 etc.) fachen Multiplikation der entsprechenden Zahl mit sich selbst . Also z.b. 3x3x3..........x3 (also 5050 mal wiederholen). 5050 multipliziert mit einer beliebige natürlichen Zahl ist IMMER durch 10 teilbar.
binsan 29.11.2015
2. Allgemeingültig
Ist jetzt nicht so überraschend, da das für alle natürlichen Zahlen gilt...
binsan 29.11.2015
3. @1 Denkfehler
Sie machen gleich zwei Denkfehler: x^1 + x^2 =/= x^3 Und x^5050 =/= 5050*x
rotella 29.11.2015
4.
Zitat von frenchhorn_69Einfacherer Lösung. Egal welche natürliche Zahl man nimmt, ist es immer durch 10 teilbar! Alle Potenzen einer natürlichen Zahl von der ersten bis zu 100. Potenz zu addieren ist gleichbedeutend mit der 5050 (=101x50) (leitet sich her aus (1+100+2+99 etc.) fachen Multiplikation der entsprechenden Zahl mit sich selbst . Also z.b. 3x3x3..........x3 (also 5050 mal wiederholen). 5050 multipliziert mit einer beliebige natürlichen Zahl ist IMMER durch 10 teilbar.
Also das ist definitiv falsch, denn die beiden Summen sind tatsächlich S3=3/2*(3^100-1) bzw. S7=7/6*(7^100-1). Ihre Ergebnisse liegen da doch einige Dimension darüber...
edusson 29.11.2015
5. Sooo einfach ist es nicht.
Die Gauß'sche Summenformel gilt zwar für natürliche Zahlen, die müssen aber fortlaufend sein (1+2+3+...+n). In diesem Beispiel sind sie es nicht: 3+9+27+...+3hoch100.
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