Rätsel der Woche: Verflixte Quersumme

Diese Aufgabe könnte Sie ein Weilchen beschäftigen: Wir suchen die kleinste natürliche Zahl, deren Quersumme durch 10 teilbar ist, und deren Nachfolger ebenfalls eine durch 10 teilbare Quersumme besitzt.

Mathe-Aufgaben: Ist ihre Quersumme durch drei teilbar, gilt das auch für die Zahl selbst

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Die Quersumme ist eine äußerst praktische Erfindung: Um herauszufinden, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, genügt es, ihre Ziffern zu addieren. Nehmen wir zum Beispiel 12345. Die Quersumme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ist durch 3 teilbar - und dann trifft das auch für die Zahl 12345 selbst zu.

Im heutigen Rätsel, das der Leser Martin Sturm vorgeschlagen hat, geht es um Zahlen, deren Quersumme durch 10 teilbar ist. Beispiel dafür sind 19 und 28, aber auch 3719, 22.222 und 1.111.111.111.

Wir suchen eine solche natürliche Zahl mit durch 10 teilbarer Quersumme. Aber es gibt noch eine zweite Bedingung: Auch ihr Nachfolger soll eine durch 10 teilbare Quersumme besitzen.

Welches ist die kleinste derartige Zahl?

Hier geht es zur Lösung

Bei der Suche nach der Lösung stellt man schnell fest, dass die gesuchte Zahl a offensichtlich ziemlich viele Neunen als Ziffern enthalten muss. Das hat letztlich damit zu tun, dass aus einer Ziffer 9 eine 0 wird, wenn man 1 addiert. Ohne ausreichend Neunen es nämlich nicht möglich, dass sowohl die Quersumme von a, als auch die ihres Nachfolgers a+1 durch 10 teilbar sind.

Beginnen wir bei der letzten Ziffer von a. Ist diese keine 9 - a kann ja zum Beispiel 28 sein -, unterscheiden sich a (=28) und a+1 (=29) nur in ihrer letzten Ziffer - und zwar um 1. Dann unterscheiden sich auch ihre Quersummen um 1 - diese sind 2+8=10 und 2+9=11 - und die beiden Quersummen können deshalb nicht beide zugleich durch 10 teilbar sein. Also kommt für die letzte Stelle nur eine 9 in Frage.

Doch auch die vorletzte Ziffer muss eine 9 sein - unsere Zahl a endet also auf 99. Was passiert, wenn die vorletzte Ziffer keine 9 ist? Nehmen wir wieder ein konkretes Beispiel: a ist 389. Der Nachfolger a+1 lautet dann 390. 389 hat die Quersumme 3+8+9=20, und bei 390 beträgt sie 3+9+0=12.

Allgemein gilt in diesem Fall für die Quersumme von a+1: Sie sinkt im Vergleich zu a um 8, denn die vorletzte Stelle erhöht sich um +1 und die letzte vermindert sich um -9 - ergibt insgesamt -8. Wenn beide Quersummen sich um 8 unterscheiden, können sie nicht beide zugleich durch 10 teilbar sein.

Dieses Spiel geht immer weiter. Auch die drittletzte Ziffer von a muss eine 9 sein. Wäre sie keine 9, wäre die Quersumme von a+1 um 17 kleiner als die von a. Denn die letzten beiden Neunen von a würden bei a+1 zu Nullen, und die drittletzte Ziffer erhöhte sich um 1. Macht insgesamt -9 -9 +1 = -17.

Analog gilt: Auch die viertletzte Ziffer muss eine 9 sein, ebenso die fünftletzte. Ausschließlich aus Neunen kann a jedoch auch nicht bestehen, denn dann wäre a+1 ja eine Zahl, die mit 1 beginnt und danach nur Nullen hat. Ihre Quersumme betrüge 1, wäre also nicht durch 10 teilbar. Aber wie viele Neunen müssen es dann sein?

Genau neun! Denn dann vermindert sich die Quersumme der letzten neun Ziffern von a+1 gegenüber im Vergleich zu a um 9*(-9) = -81, weil alle neun Neunen zu Nullen umspringen. Die Ziffer von a direkt vor den Neunen erhöht sich bei a+1 hingegen um +1. Insgesamt ändert sich die Quersumme dann um 1-81 = 80. Das ist ein Vielfaches von 10. Wenn die Quersumme von a durch 10 teilbar ist, dann muss das auch für die um 80 kleinere Quersumme von a+1 gelten.

Wir sind fast fertig! Die gesuchte Zahl a endet auf 999.999.999 - es fehlt nur die Ziffer ganz vorn. Oder auch die Ziffern ganz vorn, falls es zwei oder mehr sind. Die Quersumme von a soll durch 10 teilbar sein. Die Summe ihrer letzten neun Ziffern beträgt 9*9 = 81. Uns fehlen also noch 9, um auf eine durch 10 teilbare Zahl zu kommen. Die Ziffer 9 allein kommt nicht in Frage (siehe oben). Also müssen wir zwei Ziffern hinzufügen - und die kleinstmögliche Variante dafür ist die 18.

Die Lösung lautet 18.999.999.999,

ihr Nachfolger ist 19.000.000.000

Rechnen Sie nach - diese Zahl erfüllt die gestellten Bedingungen. Die Quersumme ist im ersten Fall 90 - und die des Nachfolgers 10.

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