Rätsel der Woche Verflixte Spirale

Dieses Problem hat es in sich: Auf einen langen, schmalen Zylinder ist eine Linie gezeichnet, die wie eine Spirale von unten nach oben verläuft. Wie lang ist diese Linie?

Fünf Umdrehungen von einer Seite zur anderen: Wie lang ist die grüne Linie?
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Fünf Umdrehungen von einer Seite zur anderen: Wie lang ist die grüne Linie?


Weihnachten ist überstanden, und das kleinliche Einschmelzen von Kerzen am Adventssonntag können Sie sich fürs kommende Jahr aufheben. Beim letzten Rätsel des Jahres 2014 geht es um Geometrie - und dieses Rätsel könnte manchen zur Verzweiflung bringen. Doch keine Angst. Es gibt eine sehr einfache Lösung, geben Sie nicht zu früh auf.

Gegeben ist ein langer schmaler Zylinder. Er soll zehn Zentimeter lang sein und einen Durchmesser von einem Zentimeter haben. Mit einem grünen Stift ist eine Linie auf die runde Außenfläche des Zylinders gezeichnet. Sie beginnt an einem Ende des Zylinders und windet sich wie eine Spirale um ihn herum zum anderen Ende. Die Linie steigt gleichmäßig an und umrundet den Zylinder genau fünf Mal.

Wie lang ist die grüne Linie?

Hier geht es direkt zur Lösung.

Falls Sie die Rätsel der vergangenen Wochen verpasst haben - das sind die Links:

hda

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Seite 1
ir² 28.12.2014
1.
Steigung: 10/5 = 2 cm tg a (Steigungswinkel) = St/Pi*D = 2/Pi = 0,6366 ==> a = 32,48° Die Länge der Spirale ist die Sinusfunktion des Steigungswinkels. 1/sin a = 1,86 ==> Spirallänge = 10 * 1,86 = 18,6 cm
Berg 28.12.2014
2. Versuch einer Lösung
Gegeben: D = Durchmesser des Zylinders H = Höhe des Zylinders h = Ganghöhe der Spirale Berechnet: l = Länge der Spirale in EINER Ganghöhe l = SQR(h·h+(D·pi)·(·pi)) L = Gesamtlänge der Spirale L = l*(H/h)
Bernd.Brincken 28.12.2014
3. Sparsamkeit
Zitat von ir²Steigung: 10/5 = 2 cm tg a (Steigungswinkel) = St/Pi*D = 2/Pi = 0,6366 ==> a = 32,48° Die Länge der Spirale ist die Sinusfunktion des Steigungswinkels. 1/sin a = 1,86 ==> Spirallänge = 10 * 1,86 = 18,6 cm
Interessanter Ansatz, allerdings weihnachtlich verschwenderisch, d.h. im Widerspruch zum Sparsamkeitsprinzip in der Mathematik, wonach die einfachste Lösung zu bevorzugen ist ;) Das Aufrollen war auch mein Ansatz, aber ich habe nur eine Spiral-Windung gerechnet und das Ergebnis mit 5 multipliziert.
mathebanker 28.12.2014
4. aufschneiden hilft
Empfehlung: --> einen solchen Zylinder basteln, bemalen und dann die Papierrolle entlang der Klebelinie wieder aufschneiden - gibt ein schönes Bild, welches auf die Lösung führt. Nette Idee, werde das mal in abgewandelter Form den Aufgaben der Woche bei schulmodell.eu einbauen - wenn ich darf.
dwg 28.12.2014
5. Einfach
Am Startpunkt der Spirale den Zylinder der Länge nach aufschneiden, flach legen und schon schaut einen der Pythagoras für jede Umdrehung an.
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