Rätsel-Lösung Binomische Formeln und Primzahlen

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten? Eigentlich ist das unlösbar. Doch mit einer Binomischen Formel und Primzahlen finden Sie einen Weg.

Gehirn bei der Arbeit: Ein, zwei Tricks lösen das Problem
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Gehirn bei der Arbeit: Ein, zwei Tricks lösen das Problem


Wenn Sie eine Gleichung mit zwei Unbekannten lösen wollen, brauchen Sie ein, zwei Tricks. Mit etwas Glück haben Sie dann statt zweier Unbekannter plötzlich nur noch eine. Und dann sieht das Problem schon viel freundlicher aus.

Die Aufgabe: Finden Sie alle natürlichen Zahlen x und y, welche die Gleichung erfüllen:

x3 - y3 = 721

Erinnern Sie sich noch an die Binomische Formel x2 - y2 = (x-y)*(x+y) ? Auch x3 - y3 lässt sich auf ähnliche Weise in zwei Faktoren zerlegen. Es gilt nämlich:

x3 - y3 = (x-y)*(x2 + xy + y2)

Falls Sie Zweifel daran haben, können Sie das Ganze leicht aberprüfen, indem Sie x*(x2 + xy + y2) - y*(x2 + xy + y2) rechnen. Aber was ist mit dieser Umformung gewonnen? Die neue Gleichung

(x-y)*(x2 + xy + y2) = 721

sieht ja eigentlich noch viel komplizierter aus als die ursprüngliche! Das stimmt, aber trotzdem hilft sie uns weiter. Weil x und y natürliche Zahlen sind, müssen auch die beiden Faktoren (x-y) und (x2 + xy + y2) ganze Zahlen sein. Lösungen kann es also nur dann geben, wenn man 721 als Produkt zweier Zahlen schreiben kann, wobei (x-y) zwingend der kleinere der beiden Faktoren sein muss.

Wie können wir 721 in Faktoren zerlegen? Mit Primzahlen. Man sieht auf einen Blick, dass 721 durch die Primzahl 7 teilbar ist. Das Ergebnis 103 ist ebenfalls eine Primzahl. Wenn wir noch beachten, dass wir 721 auch als Produkt 1*721 schreiben können, gibt es nur folgende zwei Zerlegungen:

7 * 103 = 721

1 * 721 = 721

(x-y) muss deshalb entweder 1 oder 7 sein. Und (x2 + xy + y2) entweder 721 oder 103. Wir müssen nun noch schauen, ob wir dafür passende natürliche Zahlen x, y finden.

Fall 1: (x-y) = 1

Wir setzen x = y+1 in die Gleichung x2 + xy + y2 = 721 ein und erhalten:

y2 + 2y + 1 + y2 + y + y2 = 721

3(y2 + y) = 720

y2 + y - 240 = 0

Die beiden Lösungen dieser Gleichung lauten y = 15 und y = -16. Weil y eine natürliche Zahl sein soll, kommt nur y = 15 in Frage. Wegen x = y+1 erhalten wir x = 16 sein. Damit haben wir schon mal eine Lösung der Aufgabe gefunden.

Fall 2: (x-y) = 7

Wir setzen x = y+7 in die Gleichung x2 + xy + y2 = 103 ein und erhalten analog zur Rechnung in Fall 1 als einzige Lösung x = 9 und y= 2.

Die Gleichung x3 - y3 = 721 hat also genau zwei Lösungen mit natürlichen Zahlen: (16, 15) und (9, 2).

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Wie schwierig fanden Sie die Aufgabe mit zwei Unbekannten?

Falls Sie eine Aufgabe aus den vergangenen Wochen verpasst haben - das sind die Links:

hda



insgesamt 10 Beiträge
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Seite 1
MoorGraf 16.02.2015
1. unnötig kompliziert...
logischer finde ich Folgendes: y muss kleiner als x sein und ich rechne erstmal alle 3er Potenzen bis 17 aus. x muss mindestens 9 sein, davor sind die Dreierpotenen kleiner als 721; durch Ausprobieren ergibt sich bei 9 und 2 und bei 16 und 15 die gesuchte Differenz, bei x 10 -15 gibt es keine Dreierpotenz, die zur Differenz 721 führt Und wenn x größer als 17 ist, ist die Differenz zweier Dreierpotenzen bereits größer als 721, so dass es da auch keine Lösungen mehr geben kann vielleicht nicht so ganz elegant oder zwingend, weil ich 7 Differenzen ausprobieren musste, aber dafür straight forward, was mein Ingenieurshirn eher versteht...
jungletiger9 16.02.2015
2. Statt Formeldrescherei ...
... kann man den Suchbereich recht schnell nach oben beschraenken. Je groesser die Zahl, desto groesser die Differenz zwischen den Potenzen benachbarter natuerlicher Zahlen. Zwischen 15 und 16 ist die Differenz von 729 bereits erreicht, also muss man oberhalb von 16 gar nicht erst suchen. Im Prinzip muss man dann nur noch die Liste der dritten Potenzen fuer die Zahlen von 1-16 erstellen, fuer die Zahlen von 9 bis 16 721 von der dritten Potenz abziehen (denn 9 ist die erste Zahl, deren dritte Potenz > 721 ist) und dann schauen, ob das Ergebnis einer anderen Zahl entspricht. Fuer die meisten Leute duerfte das schneller gehen (hat vielleicht 3 Minuten gedauert) als die theoretische Ableitung.
bardeaustinte 16.02.2015
3. Mathematik-Verständnis
Vielleicht können sich die Leute bei Spon mal angewöhnen, von "einer" statt von "der" Lösung zu schreiben, also "Hier geht es zu einer Lösung". Selbst wenn man die vorgeschlagene Lösung nachvollzieht, bleibt es ja spannend, welche Wege man noch findet. (Ich habe die Primfaktorzerlegung gemacht, dann aber auch einfach ausprobiert. Da wird sofort klar, dass es nur endlich viele Lösungen gibt). Ansonsten bleibt man beim Mathematik-Verständnis der Unterstufe hängen, wo ein Weg vorgeschlagen und dann gepaukt wird. ----- Ein bisschen Drumherum ist auch interessant, z.B. kann man den Fundamentalsatz der Algebra erwähnen: Eine Gleichung dritter Ordnung hat max. 3 reelle Lösungen (im komplexen genau drei Lösungen). Oder man bemerkt, dass 721 keine Dreierpotenz ist, und erwähnt kurz den großen Fermatschen Satz.
irgendeinleser 16.02.2015
4. Re: Statt Formeldrescherei ...
Zitat von jungletiger9... kann man den Suchbereich recht schnell nach oben beschraenken. Je groesser die Zahl, desto groesser die Differenz zwischen den Potenzen benachbarter natuerlicher Zahlen. Zwischen 15 und 16 ist die Differenz von 729 bereits erreicht, also muss man oberhalb von 16 gar nicht erst suchen. Im Prinzip muss man dann nur noch die Liste der dritten Potenzen fuer die Zahlen von 1-16 erstellen, fuer die Zahlen von 9 bis 16 721 von der dritten Potenz abziehen (denn 9 ist die erste Zahl, deren dritte Potenz > 721 ist) und dann schauen, ob das Ergebnis einer anderen Zahl entspricht. Fuer die meisten Leute duerfte das schneller gehen (hat vielleicht 3 Minuten gedauert) als die theoretische Ableitung.
Sehe ich auch so. Und zusätzlich braucht man nur Paare von geraden und ungerade Zahlen zu betrachten, dann das Ergebnis (die Differenz der dritten Potenzen) ist ungerade und also ist genau einer der beiden Kubikzahlen gerade und damit auch genau eine der beiden Zahlen x, y. Ich finde die angegebene Lösung OK, aber als einzige angegebene Lösung doch ziemlich unbefriedigend. Es hätte mir deutlich besser gefallen, wenn hier verschiedene Ansätze vorgestellt hätte. (Oder Notfalls den Hinweis in die Aufgabenstellung aufgenommen hätte, dass kein Ausprobieren gewünscht ist, nur algebraisches Vorgehen).
thawn 16.02.2015
5. Es gibt eine viel einfachere Lösung
Ich kann die Gleichung als X^3-(x-n)^3=721 umschreiben. Jetzt muss ich für n nur die Zahlen von 1-8 einsetzen (9^3 ist bereits größer als 721 daher muss die Differenz von x und y kleiner 9 sein) und schauen wo für x natürliche Zahlen rauskommen und voila habe ich die Lösungen.
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