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Linien-Multiplikation Wie der Rechentrick aus Asien funktioniert

Schriftlich Rechnen ist nicht so Ihr Ding? Dann dürfte Ihnen die asiatische Linien-Multiplikation gefallen. Der Rechentrick hat im Netz Karriere gemacht - und ist wirklich verblüffend.

Wie lange brauchen Sie, um das Produkt 123 mal 421 zu kalkulieren? Ohne Taschenrechner natürlich. Wissen Sie überhaupt noch, wie das geht? Die dafür übliche Methode jedenfalls wird bis heute in der Schule gelehrt und heißt schriftliche Multiplikation. Sie funktioniert, keine Frage, aber Spaß macht das stupide Rechnen kaum.

Viel attraktiver kommt da eine Methode daher, die oft als japanisches Multiplizieren bezeichnet wird. Anstatt wie beim schriftlichen Rechnen Schritt für Schritt alle Ziffern miteinander zu multiplizieren und die Resultate danach zu addieren, zieht man einfach ein paar Striche auf einem Blatt Papier, zählt die Schnittpunkte zusammen und ist fertig.

Das erscheint viel einfacher als das umständliche schriftliche Rechnen! Das Video oben und die folgende Grafik unten zeigen, wie man 123 mal 421 kalkuliert:

Prinzip der Linienmultiplikation

Prinzip der Linienmultiplikation

Foto: SPIEGEL ONLINE

Das Ergebnis 51.783 stimmt tatsächlich - das Ganze grenzt fast schon Zauberei! Warum lernen wir diese Methode nicht im Mathe-Unterricht? Ist es nicht toll, wenn man das lästige schriftliche Multiplizieren nicht mehr braucht? Ja, beim konkreten Beispiel 123 mal 421 erweist sich die Methode tatsächlich als genial.

Doch das liegt vor allem an den beiden miteinander multiplizierten Zahlen, genauer gesagt an den darin auftauchenden Ziffern. Diese sind eher klein (1, 2, 3, 4). Kleine Ziffern bedeuten bei dieser Methode nur wenige Linien, die wir aufs Papier zeichnen müssen. Und entsprechend wenige Schnittpunkte.

Sobald mehrere große Ziffern wie 7, 8 oder 9 in den Zahlen auftauchen, verliert der asiatische Rechentrick seinen Charme. Die Zahl der Linien und Schnittpunkte wird schnell unübersichtlich. Mit simplem Abzählen kommt man nicht mehr weit, wie das Beispiel 78 mal 69 zeigt:

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Natürlich muss man die Schnittpunkte dann nicht per Hand abzählen. Wenn acht parallele Linien sich mit neun anderen Linien kreuzen, ergeben sich 8*9=72 Schnittpunkte. Auf diese Weise können wir die gesuchten Punktanzahlen berechnen, benötigen dafür aber auf jeden Fall das kleine Einmaleins.

Wenn wir so vorgehen, könnten wir allerdings auch gleich schriftlich rechnen. Denn letztlich multipliziert man bei der Linienmultiplikation jede Ziffer der einen Zahl mit jeder Ziffer der anderen Zahl - genau wie beim schriftlichen Multiplizieren. Sogar die Zwischenergebnisse werden genauso zusammengerechnet. Deshalb erspart uns das Ganze auch nicht die Überträge und das Merken von Ziffern für die nächste Stelle.

Rechnen als Abenteuer?

Trotzdem kann die Linien-Multiplikation sinnvoll sein - weil sie Spaß am Rechnen bringt! Wenn das eher stupide Ausmultiplizieren zweier Zahlen plötzlich etwas mit Magie zu tun hat, ist es auf einmal kein lästiger Pflichtstoff aus der Schule mehr. Und außerdem merkt man sich einen Trick einfach besser und wendet ihn lieber an als eine mechanische Rechenvorschrift .

Ganz ehrlich: Was will man als Mathelehrer mehr? Menschen sollen so rechnen, wie es ihnen am besten liegt und den meisten Spaß macht und nicht so, wie es der Lehrplan vorsieht. Hauptsache das Ergebnis stimmt. Dass der Kniff mit den Linien bei großen Ziffern nicht mehr so gut funktioniert - geschenkt.

In solchen Fällen rechnet man entweder klassisch schriftlich - oder greift zu einem anderen Rechentrick für Multiplikationen. Davon gibt es verblüffend viele - und meist sind die Tricks kaum bekannt. Manche klappen nur bei bestimmten Ziffernkonstellation richtig gut wie das Linienrechnen, andere sind ganz allgemein gültig. Allen ist gemeinsam, dass sie das Rechnen zu einem spannenden Abenteuer machen.

Wenn Sie den Spaß am Multiplizieren suchen - die folgende kleine Auswahl von Rechentricks könnte Ihnen dabei helfen:

Multiplikation mit 5

Was ist 94*5? Das Ergebnis dieser Aufgabe habe ich wahrscheinlich schneller hingeschrieben, als Sie die Zahlen in Ihren Taschenrechner tippen können: 470.

Wie geht der Trick? Er nutzt die 10. Wenn wir eine Zahl mit 5 multiplizieren, können wir auch ihre Hälfte verzehnfachen - also 1/2*10 rechnen. Solange eine Zahl gerade ist, macht das keine Probleme. Ich halbiere die Zahl und hänge eine Null an:

34*5 = 17*10 = 170

46*5 = 23*10 = 230

Das klappt übrigens auch mit Geldbeträgen:

34,98 € * 5 = 17,49 € * 10 = 174,90 €

Was tue ich aber, wenn die Zahl ungerade ist? Etwa bei 27*5? Ich halbiere die 27 und komme auf 13 Rest 1. An die 13 hänge ich dann aber keine 0 an, sondern eine 5. Und das mache ich immer, wenn das Halbieren nur mit Rest klappt.

27*5 = 13*10 + 5 = 130 + 5 = 135

45*5 = 22*10 + 5 = 220 + 5 = 225

Quadratzahlen leicht berechnen

Die Quadrate der Zahlen von 1 bis 10 haben Sie wahrscheinlich im Kopf, aber wie sieht es mit 182, 422 oder 992 aus? Dafür gibt es einen eleganten Trick, der prinzipiell auch mit dreistelligen Zahlen funktioniert.

Bei der Zahl, die wir quadrieren möchten, suchen wir die nächstgrößere oder kleinere glatte Zahl, die auf 0 endet. Bei der 18 ist das die 20. Wir rechnen dann:

182 = (18+2)*(18-2) + 22
182 = 20*16 + 4
182 = 320 + 4 = 324

Analog dazu:

422 = (42-2)*(42+2) + 22
422 = 40*44 + 4
422 = 1760 + 4 = 1764

852 = (85+5)*(85-5) + 52
852 = 90*80 + 25
852 = 7200 + 25 = 7225

992 = (99-1)*(99+1) + 12
992 = 98*100 + 1 = 9801

Warum klappt der Trick? Wir nutzen dafür die binomische Formel:

a2 - b2 = (a+b)*(a-b)

Wir bringen noch das b2 auf die andere Seite und erhalten die hier verwendete Formel:

a2 = (a+b)*(a-b) + b2

Multiplikation mit 9, 18, 27

Beim Faktor 9 ist die Sache klar: Ich multipliziere die Ausgangszahl mit 10 und ziehe dann vom Ergebnis die Ausgangszahl ab, die einem Zehntel des Ergebnisses entspricht:

53*9 = 530 - 53 = 477

Wenn Sie ein Vielfaches von 18 oder 27 berechnen wollen, multiplizieren Sie mit 20 beziehungsweise 30 und subtrahieren vom Ergebnis einfach ein Zehntel des Ergebnisses, denn 2 beziehungsweise 3 sind ein Zehntel von 20 beziehungsweise 30.

53*18 = 1060 - 106 = 954

53*27 = 1590 - 159 = 1431

Das Schöne an all diesen Rechentricks ist, dass sie uns näher an den Kern der Mathematik heranführen. Und zwar dann, wenn wir uns fragen: Warum funktioniert das eigentlich? Sobald wir einen Rechentrick verstanden haben, haben wir wirklich etwas über Mathematik gelernt. Und nicht einfach nur ein auswendig gelerntes Lösungsschema angewandt.

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