Rätsel der Woche Unendlich viele Quadrate

Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate zerlegt, manche davon werden blau gefärbt. Welche Fläche belegen die unendlich vielen blauen Quadrate?

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Von und (Grafik)


Das Gummibärchen-Problem aus der letzten Woche hat für einige Diskussionen gesorgt. Mehrere Leser haben mir geschrieben, dass Sie an der Richtigkeit der Lösung zweifeln. Ja, meine Argumentation hat tatsächlich Schwachpunkte. Ich habe die Lösung deshalb noch um weitere Erläuterungen ergänzt - Sie finden diese hier.

Das neue Rätsel dürfte weniger Kontroversen auslösen. Es geht um ein Quadrat, das in immer kleinere Quadrate zerlegt wird. Und zwar nach folgender Regel:

1) Das Quadrat wird geviertelt.

2) Das Viertelquadrat links unten wird dunkel gefärbt.

3) Sie gehen zum Viertelquadrat rechts oben. Dies ist das Quadrat, mit dem Sie die Schritte 1 bis 3 wiederholen.

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Wenn Sie dieser Anleitung folgen, entstehen immer kleinere, dunkel gefärbte Quadrate. Es sind sogar unendlich viele, man kann diese nur nicht mehr erkennen, weil die Quadrate ja immer kleiner werden - unendlich klein!

Nun die Frage: Wenn das ganz große Quadrat, mit dem wir anfangen, eine Fläche von 1 hat - wie groß ist dann die Fläche aller dunkel gefärbten Quadrate zusammengerechnet?

Oder anderes gefragt: Wie groß ist der Anteil dunkel gefärbter Flächen am großen Quadrat?



insgesamt 85 Beiträge
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Sibylle1969 19.01.2019
1. Konvergiert
Das ist ein Spezialfall der geometrischen Reihe. Und diese konvergiert, wenn der Summand
RealSim 19.01.2019
2. Ja hingucken ist schneller
Das stimmt natürlich. Die Lösung ist 1/3. Aber, dass es zu einem Rätsel mit Grenzwertberechnung keine Diskussionen geben wird glaub ich erst wenn ich es sehe ;)
betonklotz 19.01.2019
3. Da war das Rätsel letzte Woche effektiver
Gehen wir mal davon aus, dass es die Aufgabe des Rätselstellers ist, eine möglichst lange Debatte im Forum auszulösen. Plausibel, da SPon von den Clicks lebt. Dann wird diese Aufgabe wohl kaum an die von letzter Woche herankommen. Hier haben wir es mit einer simplen geometrischen Reihe zu tun, Lösung 4*(1/(1-1/4))=1/3, da ist der Klärungsbedarf eher klein. Früher war einfach mehr Lametta! ;)
rotella 19.01.2019
4. Geometrische Reihe (ohne das erste Element)
x = 1/(4) + 1/(4*4) + 1/(4*4*4)+... 4x = 1 + 1/(4) + 1/(4*4) + 1/(4*4*4)+... 4x - x = 3x = 1 x = 1/3
permissiveactionlink 19.01.2019
5. Die unendliche geometrische Reihe
s = 1+1/4+1/(4^2)+1/(4^3).... = a(0)/(1-q). Dabei ist a(n) = 1*(q^n), und a(0)=1 sowie q=1/4. Lösungen existieren nur für q kleiner 1. Hier erhält man 1/(1-1/4)=1/(3/4)=4/3. Multipliziert man jeden Summanden mit 1/4, dann gelangt man zu der Reihe in der Aufgabe : 1/4 + 1/16 + 1/256 + .....+ 1/(4^n) = 4/3 * 1/4 = 1/3. In diesem Fall sieht man das Ergebnis sofort, aber das ist bei geometrischen Reihen nicht immer so. Beispiel : Verwandeln Sie die Dezimalzahl 0,243 (mit Periodenstrich über 243) in einen Bruch. a ist jetzt 243/1000, und q = 1/1000. Denn 0,243(Periode) = 243/1000 + 243/1000 * 1/1000 + 243/1000 * (1/1000)^2 + ...... = (243/1000)/(1-1/1000) = 243/(1000 * 999/1000) = 243/999 = 9/37, da ggT(243,999) = 27
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