Rätsel der Woche Unter Lügnern

Die einen lügen immer, die anderen sagen stets die Wahrheit. Ist eine Umfrage unter diesen Umständen überhaupt zu gebrauchen?
Foto: SPIEGEL ONLINE

Was für ein seltsames Dorf! Jeder Einwohner ist entweder ein notorischer Lügner, oder er sagt stets die Wahrheit. Außerdem ist jeder Einwohner Anhänger genau eines der vier Fußballvereine A, B, C und D, die es in dem Dorf gibt.

Ein Meinungsforschungsinstitut hat allen 250 Dorfbewohnern die folgenden vier Fragen gestellt:

  • Sind Sie Anhänger von Team A?
  • Sind Sie Anhänger von Team B?
  • Sind Sie Anhänger von Team C?
  • Sind Sie Anhänger von Team D?

Auf die erste Frage antworteten 90 mit Ja, auf Frage zwei gab es 100 Ja-Antworten, bei Frage drei und vier waren es jeweils 80.

Wie viele Lügner leben in dem Dorf?

Hier geht es zur Lösung

Von den 250 Bewohnern sind 50 Lügner und 200 sagen stets die Wahrheit.

Um die Lösung zu finden, müssen wir uns nur anschauen, wie Lügner und wie Wahrheitssagende auf die vier Fragen antworten:

  • Sind Sie Anhänger von Team A?
  • Sind Sie Anhänger von Team B?
  • Sind Sie Anhänger von Team C?
  • Sind Sie Anhänger von Team D?

Jemand, der die Wahrheit sagt, wird eine Frage mit Ja beantworten (denn er unterstützt ja eines der vier Teams) und drei Fragen mit Nein.

Ein Lügner hingegen wird einmal Nein antworten (bei der Frage nach seinem Team) und dreimal Ja sagen (bei den Fragen nach den Teams, von denen er kein Anhänger ist).

Fassen wir zusammen: Jeder Wahrheitsliebende liefert genau eine Jastimme, jeder Lügner gibt drei Jastimmen ab.

Wenn W die Anzahl der Wahrheitsliebenden ist und L die Anzahl der Lügner, dann muss die Summe aller Jastimmen genau W + 3L entsprechen. Die Summe der Jastimmen lässt sich leicht ausrechnen:

  • Sind Sie Anhänger von Team A? 90x Ja
  • Sind Sie Anhänger von Team B? 100x Ja
  • Sind Sie Anhänger von Team C? 80x Ja
  • Sind Sie Anhänger von Team D? 80x Ja
  • Jastimmen = 90 + 100 + 80 + 80 = 350. Außerdem wissen wir, dass W + L = 250 sein muss, denn das Dorf hat 250 Einwohner. Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

    W + L = 250
    W + 3L = 350

    Daraus folgt sofort: 2L = 100 und damit L = 50. Es gibt deshalb 50 Lügner.

    Fotostrecke

    Die schönsten Logikrätsel: Von Lügnern, Ziegen und Mönchen

    Foto: SPIEGEL ONLINE
    Die Wiedergabe wurde unterbrochen.