Vertauschte Zeiger Zwei elegante Lösungen des Uhrenrätsels
Die Uhr links zeigt 13.00 Uhr an. Rechts wurden kleiner und großer Zeiger vertauscht. Die Uhr ist ab 12 Uhr fünf Minuten gelaufen.
Foto: SPIEGEL ONLINELeicht war sie nicht, die Zusatzaufgabe zum Rätsel der Woche. Es ging um eine Wanduhr, bei der großer und kleiner Zeiger miteinander vertauscht waren. Bei ihr stehen die Zeiger immer wieder in Positionen, die es bei einer normalen Uhr gar nicht gibt.
Punkt 12 Uhr fällt der Zeigertausch nicht auf, denn beide Zeiger sind in diesem Moment bei der 12 - genau wie bei einer normalen Uhr. Und auch nach 12 Uhr zeigt die verrückte Uhr immer mal wieder eine Zeit an, die tatsächlich existiert. Die Zusatzfrage zum Rätsel der vergangenen Woche war, wann genau dies nach 12 Uhr das nächste Mal geschieht. In welcher Position befinden sich die Zeiger dann?
Man kann bei dieser Aufgabe schnell den Überblick verlieren. Das ist mir selbst auch passiert, als ich die Aufgabe mal schnell nebenbei lösen wollte. Meine erste Lösung stimmte nicht, erst im zweiten Anlauf kam ich auf die richtige Antwort. Auch einige SPIEGEL-ONLINE-Leser verwirrte der Zeigertausch offenbar so sehr, dass sie entweder eine falsche Lösung schickten oder sogar anzweifelten, dass überhaupt eine Lösung existiert.
Ich hatte versprochen, die eleganteste Lösung mit zwei Büchern zu prämieren. Weil derselbe, erstaunlich kurze Lösungsweg von mehreren Lesern vorgeschlagen wurde, habe ich als Gewinner den Leser gewählt, dessen Lösung zuerst in meinem Postfach lag. Der Absender war Matthias Mosé. Herzlichen Glückwunsch!
Die Lösung besteht im Grunde aus drei Zeilen. Man nutzt dabei die Tatsache, dass die Positionen des großen und kleinen Zeigers voneinander abhängen. Bei einer normalen Uhr bewegt sich der große Zeiger zwölfmal schneller als der kleine. Bei der Uhr mit vertauschten Zeigern ist es umgekehrt.
Zeiger zwölfmal so schnell
Daraus ergeben sich zwei Gleichungen für die Positionen der Zeiger mit zwei Unbekannten. Mit G bezeichnen wir die Position des großen Zeigers in Minuten, mit K die des kleinen Zeigers. Beispiel: Steht ein Zeiger bei der 1, entspricht das fünf Minuten. Die gesuchte Uhrzeit muss kurz nach der Zeigerstellung von 13.00 Uhr liegen. Es gilt:
K = 12*G (Uhr mit vertauschten Zeigern)
K = 5 + G/12 (normale Uhr zwischen 13 und 14 Uhr)
Die Grafik oben zeigt beide Uhren nebeneinander. Setzt man die erste in die zweite Gleichung ein, erhält man
12*G = 5 + G/12
G = 60/143 Minuten
G = 25,2 Sekunden
Die angezeigte Uhrzeit ist deshalb 13:00:25.
Es gibt aber auch noch eine andere Lösungsvariante, bei der man sogar ohne ein solches Gleichungssystem mit zwei Unbekannten auskommt. Die Idee dahinter ist, alle Positionen von 12 Uhr bis 24 Uhr durchzuzählen, bei denen die Uhr eine tatsächlich existierende Uhrzeit anzeigt. Pro Stunde (realer Zeit) inklusive 12.00 Uhr und 24.00 Uhr geschieht dies genau zwölfmal - macht insgesamt 12*12 = 144 mal in zwölf Stunden.
Weil sich die Zeiger bei der normalen Uhr und bei der mit vertauschen Zeigern mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten mit tatsächlich existierender Zeigerstellung immer gleich. Um diesen Abstand zu berechnen, brauchen wir die zwölf Stunden einfach nur durch 143 (144-1) zu teilen. Denn zwischen den 144 aufeinanderfolgenden Zeitpunkten beginnend bei 12 Uhr und endend bei 24 Uhr befinden sich genau 143 Zwischenräume.
12 Stunden geteilt durch 143 ergibt eine Laufzeit von 5 Minuten und 2,1 Sekunden. Dies entspricht exakt der schon bekannten Zeigerstellung von 13.00 Uhr und 25,2 Sekunden.
Auch dieser Lösungsweg wurde mehrfach vorgeschlagen. Die erste Einsendung kam von Michael Wins, der ebenfalls das Set aus zwei Büchern gewinnt. Glückwunsch an ihn und vielen Dank an alle, die mitgeknobelt haben!
