Warteschlangen-Theorie Wie wir alle schneller shoppen könnten
Endlich Feierabend! Jetzt noch einen Drink an der Bar, und die Party kann beginnen. Nur gibt es da zwei Theken: An der einen stehen zehn Leute brav in einer Reihe - an der anderen drängeln sich zehn Leute in einer Traube.
Wohin gehen, um möglichst schnell an den Drink zu kommen?
Als Partygänger ist man ziemlich schnell mittendrin in der Mathematik, genauer: in der Warteschlangentheorie. Wissenschaftler beschäftigen sich seit fast hundert Jahren damit - sie suchen die optimale Anstehstrategie. Refael Hassin, einer von ihnen, lehrt an der Universität von Tel Aviv. Er rät Barbesuchern, die es eilig haben, sich in die Menschentraube zu mischen.
"Das ist rational", sagt Hassin SPIEGEL ONLINE. Denn in der Traube habe man gute Chancen, nicht erst als elfter bedient zu werden. Man müsse dafür nur ein bisschen drängeln. In der braven Schlange sei langes Warten dagegen garantiert - man werde auf jeden Fall erst als elfter bedient.
"Die Situation ist sehr speziell", das gibt der israelische Mathematiker zu. Sie zeige aber, dass Leute strategisch denken: "Sie überlegen sich sehr genau, was sie tun." Gerade beim Warten.
Hassin untersucht das Problem spieltheoretisch - doch das ist nur einer von vielen Ansätzen. Bei komplexeren Problemen wie der Logistik von Karosserieteilen in einer Autofabrik oder den Starts und Landungen auf einem Flughafen greifen Mathematiker zu ganz anderen Werkzeugen. Um die bestmögliche Lösung für ein Warteschlangen-Problem zu finden, jonglieren sie in der sogenannten Queuing Theory mit Größen wie Ankunftsströmen, Bedienraten, der Größe des Warteraums und der Anzahl der Bediener.
Wenn nur der Zufall nicht wäre
Erschwert wird die Suche vor allem durch den Faktor Zufall. Er ist es in der Regel, der Warteschlangen überhaupt produziert.
Beispiel Flugverkehr: Ein Flugzeug hat einen Defekt und verspätet sich, eine andere Maschine muss auf Anschlussreisende warten - schon nimmt das Chaos seinen Lauf.
Beispiel Supermarkt: Kunden kommen nicht in gleichmäßigen Abständen zur Kasse; es gibt unter anderem Stoßzeiten am Abend. Außerdem kann es an jeder Schlange unvorhersehbare Verzögerungen geben, wenn die ec-Karte Schwierigkeiten macht oder eine Ware nicht ausgezeichnet ist.
Für Alexander Herzog, Mathematiker an der Technischen Universität Clausthal, sind Supermarktschlangen gleich in doppelter Hinsicht ein Ärgernis. Zum einen wird er immer wieder gefragt, wie man sich denn nun am intelligentesten anstellt. Seine wenig befriedigende Antwort: Bei zwei längeren Schlangen ist es praktisch egal, für welche man sich entscheidet, denn "Unregelmäßigkeiten im Bedienprozess sind viel wichtiger als geringe Längendifferenzen". Auch in der kürzeren Schlange werde man nur in gut 50 Prozent der Fälle wirklich schneller bedient.
Zum anderen ärgert den Mathematiker, dass es durchaus eine faire Lösung gäbe - Supermärkte sie aber kaum umsetzen. Ihr Name: amerikanische Warteschlange.
Sie ist das Ideal der Experten. Bei ihr stellen sich Kunden nicht an mehreren einzelnen Schlangen an, sondern an einer einzigen großen - und werden dann von dort an die nächste freiwerdende Kasse verteilt (siehe Fotostrecke).
Das System ist auf Flughäfen, Bahnhöfen und in Postfilialen inzwischen auch in Deutschland üblich. Es führt zu einer gerechteren Verteilung der Wartezeit über die Kunden. Auch wenn die amerikanische Schlange länger aussieht und deshalb manchen abschreckt: Sie wird in der Regel schnell abgearbeitet.
Mit diesem System kann es einfach nicht passieren, dass sich ein Supermarktmitarbeiter an der einen Kasse langweilt, während an der anderen drei Leute darauf warten, dass ein Kunde ganz vorn ein 20-Cent-Stück aus seinem Portemonnaie gefingert hat. "Es gibt mehr Bediengerechtigkeit, es wird weniger Arbeitszeit verschwendet", sagt Herzog SPIEGEL ONLINE.
Verärgerte Kunden kosten nichts
Die amerikanische Schlange hilft aber nur bei sinnvoll dimensionierten Systemen, warnt Herzog. Wenn zu viele Kunden kämen, gebe es auch mit diesem System lange Wartezeiten.
Die mitunter sehr langen Schlangen in Supermärkten kommen dem Experten zufolge vor allem dadurch zustande, dass die Wartezeit der Kunden die Unternehmen im Prinzip nichts kostet. In der Abwägung zwischen längeren Wartezeiten und dem Öffnen zusätzlicher Kassen entscheide sich der Marktbetreiber meist gegen den Kunden und für niedrigere Personalkosten - weil die Verärgerung der Kunden nicht so einfach in Verluste umzurechnen sei. Herzog konstatiert: "Supermärkte sind üblicherweise kein reales Anwendungsgebiet für die Optimierung von Warteschlangen."
In der industriellen Fertigung oder Logistik ist das völlig anders. Hier geht es rasch um viel Geld - zum Beispiel wenn Hunderte halbfertige Produkte sich vor Maschinen stauen. Oder wenn Computerchips, deren Preis ständig sinkt, Monate brauchen, bis sie alle Stationen der Fertigung passiert haben. "Kürzere Durchlaufzeiten sind ein echter Wettbewerbsvorteil", sagt Thomas Hanschke, Mathematik-Professor an der TU Clausthal.
70.000 Tonnen Kerosin gespart
Der Stochastikexperte hat für Chiphersteller und die Lufthansa gearbeitet und Empfehlungen für die Optimierung der Betriebsabläufe gegeben. Sein Fazit: "Man sollte die theoretische Kapazitätsgrenze nicht voll ausnutzen, das ist das Geheimnis." Die letztlich entscheidende Frage sei, wie viel Prozent man unter diese Grenze gehe. Dafür gebe es eine grundsätzliche Regel: "Je größer zufällige Einflüsse sind, umso mehr muss man unter der theoretischen Kapazitätsgrenze bleiben", sagt Hanschke SPIEGEL ONLINE. Nur so habe man genügend Reserven, um Störungen ausgleichen zu können.
Hanschkes Team hat den gesamten europäischen Flugplan der Lufthansa simuliert. Das Ziel: Starts und Landungen so terminieren, dass Verspätungen ausgeglichen werden können. "Dank unserer Optimierung am Flughafen Frankfurt spart die Lufthansa jährlich 70.000 Tonnen Kerosin", sagt Hanschke.
Details der Optimierung kann Hanschke auf Wunsch des Auftraggebers nicht preisgeben - nur soviel: Es ging unter anderem um die Frage, ob einzelne Flüge verschoben werden und wie viele Starts und Landungen auf dem Flughafen Frankfurt pro Stunde durchgeführt werden. Das Modell umfasst rund 250 Flugzeuge mit je sieben bis acht Flügen pro Tag, inklusive der Zeiten für Säubern und Beladen mit Bordmahlzeiten.
Die Mathematiker spielten verschiedene Szenarien durch: Lassen sich die Umsteigezeiten verkürzen, zum Beispiel durch eine bessere Beschilderung im Terminal oder mehr Bodenpersonal? Wie lange soll auf noch fehlende Passagiere gewartet werden? Ab welcher Verspätung ankommender Flugzeuge soll ein in Frankfurt bereitstehendes Reserveflugzeug einspringen?
Das komplexe System des Lufthansa-Flugplans zeigte den Mathematikern zugleich die Grenzen ihrer Simulationswerkzeuge auf. Es sei "absolut hoffnungslos", die tatsächlich optimale Lösung zu finden, sagt Alexander Herzog aus Hanschkes Team. Es gebe schlicht zu viele Stellschrauben, an denen man drehen könne. "Wir nennen unsere Software deshalb auch entscheidungsstützende Werkzeuge."
Der Gau in Sachen Simulation ist eine mehrstündige oder über mehrere Tage andauernde Unterbrechung des Flugverkehrs, etwa wegen schlechten Wetters. Die Wiederherstellung des Normalbetriebs, im Flieger-Jargon Operation recovery genannt, wird dann von erfahrenen Managern übernommen. "Das ist fernab von dem, was man mit Computern machen kann", räumt Herzog ein.
Für den auf irgendeinem Flughafen der Welt gestrandeten Reisenden kann im Falle des totalen Chaos die Strategie des israelischen Mathematikers Hassin wieder interessant werden. Wenn Hunderte Anschlussreisende einen Counter belagern, ist Individualität gefragt. Entweder man drängelt sich geschickt nach vorn - oder aber man greift irgendwo am Rande des Geschehens einen Airline-Mitarbeiter ab und bringt ihn dazu, eine der begehrten Bordkarten auszustellen.
