Rätsel der Woche Im Würfelglück

Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Wie oft muss man ihn werfen, bis jede Augenzahl mindestens einmal aufgetreten ist?
Foto: SPIEGEL ONLINE

Sabine spielt mit einem Würfel. Immer wieder lässt sie ihn über den Tisch rollen. Welche Augenzahl dabei herauskommt, ist Zufall - das weiß Sabine natürlich.

Aber andererseits unterliegt auch der Zufall gewissen Gesetzmäßigkeiten. Wenn man den Würfel oft genug wirft, treten die sechs verschiedenen Augenzahlen etwa gleich häufig auf.

"Weil die Werte gleich wahrscheinlich sind", meint Sabine, "müsste ich nach einer gewissen Anzahl von Würfen doch eigentlich jede Augenzahl von 1 bis 6 mindestens einmal gewürfelt haben, oder?"

So ganz kann das nicht stimmen, stellt sie nach kurzem Nachdenken fest. "Ich kann ja auch immer wieder eine 1 würfeln." Die Wahrscheinlichkeit für eine solche lange Serie aus Einsen ist zwar sehr, sehr klein - aber eben nicht null.

Sabine stellt die Frage daher etwas anders: "Wie oft muss ich einen Würfel im Durchschnitt werfen, bis jede der Augenzahlen von 1 bis 6 mindestens einmal aufgetreten ist?"

Wissen Sie die Antwort?

Hier geht es zur Lösung

Es sind knapp 15 Würfe. Ist das mehr, als Sie gedacht hatten? Der exakte Wert liegt übrigens bei 14,7.

Die Aufgabe ist verwandt mit dem Sammelbilderproblem. Dabei geht es um die Frage, wie viele Sammelbilder einer Serie mit verschiedenen Motiven man durchschnittlich kaufen muss, bis die Serie vollständig ist.

Das klassische Beispiel dafür sind Sammelalben für große Fußballturniere. Zur EM 2016 gab es 680 verschiedene Motive. Wer auf das Tauschen mit anderen Sammlern verzichtete, musste im Schnitt fast 5000 Sticker kaufen, um jeden Aufkleber dabei zu haben.

Wir können den Würfel als Serie mit sechs verschiedenen Motiven interpretieren. Jeder Wurf entspricht dem zufälligen Ziehen eines Motivs - und wir möchten jedes Motiv mindestens einmal haben. Mit der Sammelbilder-Formel lässt sich leicht berechnen, wie viele Würfe dafür durchschnittlich nötig sind.

Der erste Wurf ergibt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 eine Augenzahl, die wir noch nicht hatten. Also brauchen wir genau einen Wurf, um eine von sechs Augenzahlen zu haben.

Beim zweiten Wurf ist die Wahrscheinlichkeit p=5/6, eine Zahl zu würfeln, die nicht der zuerst gewürfelten entspricht. Wir brauchen dann im Schnitt 1/p = 6/5 Würfe, um zwei verschiedene Augenzahlen zu haben.

Wenn wir zwei verschiedene Augenzahlen haben, beträgt die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Wurf p=4/6, eine der vier Zahlen zu würfeln, die noch fehlen. Um eine dieser Zahlen tatsächlich zur würfeln, sind im Mittel 1/p = 6/4 Würfe nötig.

So geht es immer weiter: Für die vierte Augenzahl sind 6/3 Würfe erforderlich, für die fünfte 6/2 und für die letzte fehlende Augenzahl schließlich 6/1.

Nun addieren wir diese sechs Zahlen und erhalten so die mittlere Anzahl von Würfen, die man braucht, um alle sechs Augenzahlen mindestens einmal zu haben. Das Ergebnis lautet:

1 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 14,7

Fotostrecke

Die schönsten Logikrätsel: Von Lügnern, Ziegen und Mönchen

Foto: SPIEGEL ONLINE